基于EXCEL的动力总成悬置系统模态及解耦的计算方法与验证

黄燕　宋树森

【摘 要】根据动力总成悬置系统模态及解耦的计算公式，利用EXCEL自带的有限的矩阵运算函数，计算动力总成悬置系统的广义刚度矩阵K和广义质量矩阵M的逆矩阵M-1的乘积M-1×K（设其结果为矩阵A）。然后利用作者发明的一种特殊方法在EXCEL中求出该矩阵A的特征值，再利用逆冥法在EXCEL表中求出矩阵A的特征向量，最终计算出动力总成悬置系统的模态及解耦。整个计算过程庞大而复杂，但求解矩阵A的特征值和特征向量是核心，因此将重点介绍。此外，将利用工程领域应用极广的计算软件MATLAB对基于EXCEL的动力总成悬置系统模态及解耦的计算的准确性和精度进行验证。

【关键词】动力总成悬置系统;模态;解耦;EXCEL

【中图分类号】U464.13 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2019）09-0122-04

0 前言

在开发工程车和乘用车时，为了整车的驾乘舒适性和避免共振现象的发生，必须计算动力总成悬置系统的模态及解耦，以期达到良好的隔振效果和整车舒适性。该计算工作量很大，很难人工完成。所以，工程师会借助于强大的数学计算软件或物理建模软件完成相关计算。这些软件往往是商用的，计算成本较高。本文将介绍如何利用办公电脑必备的办公软件EXCEL，完成动力总成悬置系统模态及解耦的计算。基于EXCEL的计算结果与基于MATLAB的计算结果做对比，说明计算精度的一致性。这种利用EXCEL自带的函数库完成某些功能件的分析计算的方法，值得其他功能区域去探索和实践，以便降低开发成本，缓解计算资源的紧张。

1 动力总成悬置系统模态及解耦计算公式简介

2 在EXCEL表中的计算方法实现

根据动力总成悬置系统模态求解公式（7）和解耦率求解公式（9）可知，涉及在EXCEL表中构建矩阵，求解逆矩阵、求解矩阵乘积、求解矩阵特征值和特征向量等。在本文中，将结合某公司设计的一款车型悬置，重点介绍如何在EXCEL表中求解矩阵的逆、矩阵的乘积、矩阵的特征值和特征向量等。

2.1 逆矩阵的计算方法

在EXCEL表中，求解矩阵的逆可以用函数MINVERSE（）。在本文中，将利用该函数求解广义质量矩阵M的逆矩阵。在公司开发的车型中，动力总成的质量矩阵如图1所示，利用函数MINVERSE（）计算其逆矩阵如图2所示。

2.2 矩阵乘积的计算方法

在EXCEL表中，求解两个矩阵乘积的函数为MMULT（）。在本文中，利用该函数求解矩阵A=M-1×K（见公式8）。动力总成悬置系统的广义刚度矩阵如图3所示，利用函数MMULT（）计算的矩阵A结果如图4所示。

2.3 矩阵特征值的计算方法

在EXCEL表中，无直接计算矩阵特征值的函数。但可以借助EXCEL表的其他函数，实现求解矩阵的特征值。设矩阵A的特征值构成的行列式为Y，并将A看作行列式，则存在行列式A-Y=0。一般，各车型的动力总成的质量在130～180 kg，其对应的矩阵A的特征值Y的取值范围在1 000～14 000。为了能够处理更轻的动力总成和更重的动力总成，我们可以适当放大特征值Y的取值范围。本文设特征值的取值范围在510～30 000。

可以按照从小到大的顺序求解特征值Y。我們先假设Y=510，代入行列式A-Y中，计算行列式A-Y的值。然后逐渐增大Y值，并依次计算行列式A-Y的值。当行列式A-Y=0时，则对应的Y值就是矩阵A的特征值。我们会在510～30 000找到6个使行列式A-Y=0的Y值。但实际计算时存在一个难解的问题：即使Y以单位1来递增，每次求行列式A-Y的值时，其值都不等于0。这说明，如果我们只将Y精确到个位数，是无法使行列式A-Y=0的。因此，我们需要取小数。但实践证明，即使我们取到了小数点后5位，也不会使A-Y=0。Y以如此小的幅度递增，会使计算量和计算数据变得庞大，甚至达到天文数字。一张EXCEL表最多含有1 048 576×16 384个单元格，即使将这些单元格都利用上，也可能无法完成如此巨大的计算。实践证明，我们不需要十分精确的矩阵A的特征值，只要将其精确到10位，就可以保证动力总成悬置系统的模态与解耦率拥有足够的精度。经过与大型商业软件MATLAB计算的结果对比，模态的精度可以达到0.1 Hz，解耦率的精度可以达到0.2。该精度完全满足任何车型的动力总成悬置系统的设计要求。将特征值精确到10位，可以极大地减少计算量。我们只需要完成（30 000-510）/10+1=29 950次计算。这样的计算次数，EXCEL表可以在数秒内完成。

精确到10位，意味着求解特征值Y的近似值。在计算过程中，肯定会发生这种情况：当Y=Yn时，A-Yn<0;当Y=Yn+1时，A-Yn+1>0，则特征值就介于Yn与Yn+1之间。所以，我们可以令特征值近似的为Y=（Yn+Yn+1）/2。这样，我们就求出了矩阵A的近似特征值。其中，n=1，2，3，…，29 950;Yn+1=Yn+10。

首先在EXCEL表中构建特征值行列式Y，从510开始，以10为单位步长累加（如图5和图6所示）。然后计算行列式A-Y的值（如图7和图8所示）。计算行列式的值要用到函数MDETERM（）。最后判断（A-Yn）×（A-Yn+1）是否小于0，凡是小于0的，则取（Yn+Yn+1）/2为矩阵A的近似特征值。这样，我们就计算出了矩阵A的所有近似特征值，重新命名其为eig，其值为（1 475 2 655 3 705 4 835 8 845 10 235）T。

2.4 矩阵特征向量的计算方法

求得矩阵A的特征值后，需要求解特征值对应的特征向量。同样，EXCEL没有求解特征向量的函数。本文利用逆冥法[3]求解特征向量，其方法见公式（10），其中i=1，2，…，6，I为6×6阶的单位矩阵，每个特征值对应的初始特征向量为单位向量R0=[1 1 1 1 1 1]T，每次迭代后的特征向量为Rn（n=1，2…）。MAX|Xn|为数列Xn中极值的取正。按照公式（10）进行迭代计算，当相邻两次迭代Rn-1和Rn近似相等时，则Rn即为矩阵A的一个特征值对应的特征向量。

（A-eigi×I）Rn-1=XnRn=Xn/MAX|Xn（10）

以eig1为例，在EXCEL表中简单介绍其对应的特征值计算方法。根据式（10），在EXCEL表中利用函数MMULT（（MINVERSE（A-eig1*I），R0））求出X1.利用函数MAX（ABS（）），求出MAX|Xn|和R1。然后，迭代下去，依次计算X2、R2、X3、R3……最后发现，第九次和第十次迭代后，R9和R10在小数点后7位都是相同的，所以确定了eig1对应的特征向量为第10次迭代的结果R10，并重新命名为V1=[-0.001 062 906 1 -0.000 659 385 0.515 210 046 -0.173 737 188 0.052 904 115]T。

同理，依次计算出其他5个特征向量：

V2=[0.017 934 073 -0.000 286 984 1 0.013 295 751 -0.437 069 402 -0.078 468 667]T

V3=[0.664 140 6 -0.001 388 5 -0.025 148 703 0.081 674 249 -1 -0.456 414 39]T

V4=[0.045 221 658 0.003 542 984 0.012 140 699 -0.066 572 212 1 0.155 561 787]T

V5=[0.025 497 281 -0.009 717 558 -0.000 166 081 0.105 893 448 -0.079 668 001 1]T

V6=[-0.003 851 884 -0.030 347 53 0.001 081 269 1 -0.090 717 755 -0.172 696 521]T

2.5 动力总成悬置系统模态和解耦率的计算结果

根据公式（7），其在EXCEL表中的实现函数为SQRT（TRANSPOSE（eig））/（2*PI（）），求出动力总成悬置系统的六阶频率为ω=（6.11，8.20，9.69，11.07，14.97，16.10）。再根据公式（9）和前述求得的特征向量，可以在EXCEL表中計算出动力总成悬置系统的解耦率和六阶模态对应的方向。这个在EXCEL表中都是利用现有函数实现，难度不大，因篇幅限制，在此不予介绍。最终结果如图9所示（Fore/Aft代表前后方向X，Lateral代表左右方向Y，Bounce代表上下方向Z，Roll代表绕X轴旋转的方向，Pitch代表绕Y轴悬置的方向，Yaw代表绕Z轴悬置的方向）。

3 结果验证

MATLAB因其强大的数据处理，尤其是对矩阵的处理，被广泛应用于各种工程领域。本文将利用事先在MATLAB中编制好的动力总成悬置解耦程序，用于检验基于EXCEL计算结果的准确性。计算结果如图10所示。对比图9和图10可知，频率偏差在0.1 Hz以内，解耦率偏差在0.2以内（MATLAB的解耦率表示方法采用的是小数表示，EXCEL的解耦率表示方法采用的是百分数，对比时需要注意）。这样的精度，足以满足和保证动力总成悬置系统的模态和解耦率计算的精度要求。

4 结论

利用EXCEL表可以进行矩阵求解特征值和特征向量的计算，进而求解动力总成悬置系统的模态和解耦率。

整个计算过程（包含参数输入）需要1～2 min。这与基于MATLAB的计算时间基本一致或接近。

经过与基于MATLAB的计算结果对比，计算精度与MATLAB保持一致，足以满足动力总成悬置系统的模态和解耦率计算的需求。

参 考 文 献

[1]范让林，吕振华.汽车动力总成三点式悬置系统的设计方法探讨[J].汽车工程，200（3）：304-308.

[2]蒋开洪，徐驰，上官文斌.汽车动力总成悬置系统及悬置设计与实验验证[J].汽车研究与开发，2005（12）：18-22.

[3]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2011：308-312.