电磁波在运动介质表面上半波损失的消失现象

宋仁刚 徐 岩 夏乾旭

(山东科技大学电子通信与物理学院，山东 青岛 266590)

半波损失是波动理论中的一个重要概念，在波动光学中表述为：当电磁波从光疏媒质入射到光密媒质时，反射波电场垂直入射面的分量存在半波损失[1]。一般的教材中均是在静止的坐标系框架下论述半波损失现象，即界面相对于实验室参考系是静止的[2]，而没有讨论过界面运动时电磁波的半波损失。对于运动介质界面上电磁波的反射和透射特性，已有一些相关研究[3-7]。本文在前人的研究基础上，利用狭义相对论分析沿介质界面运动和垂直于介质界面运动两种方式下，界面上电磁波的半波损失现象。

1 介质界面运动的两种情况

图1 运动介质界面示意图(a) 介质平板以速度vx沿x轴正向运动; (b) 介质平板以速度vz沿z轴正向运动

如图1(a)、(b)所示，绝缘介质平板是均匀各项同性的非铁磁介质，厚度为d，介电常数和磁导率分别为ε1、μ0，且在x轴无限延伸。平板之外为真空环境(ε0、μ0)。按照上述条件，可以分析介电介质平板的以下两种情况：(a) 介质平板沿x轴方向以恒定速度vx运动；(b) 介质平板沿z轴方向以恒定速度vz运动。图中所示惯性系S是实验室参考系，惯性系S′是相对于运动介质静止的参考系，即惯性系S′是相对于实验室参考系S以某一恒定速度运动的。另外，介质平板内部的磁导率和真空磁导率几乎一致，因此在介质界面处分析电磁波的场分量时，仅需针对入射电磁波电场分量E进行分析[3]。

2 运动界面上波矢k和频率ω的关系

对图1(a)介质平板沿x轴以速度vx运动的情况，设ωi是入射波在S系中的频率，ω′r是反射波在S′系中的频率，ω(r)代表从S系观察到的S′系中反射波的频率。由麦克斯韦方程的协变性和均匀平面波的相位不变性，利用洛伦兹变换的四维矢量变换公式[1]可得各个波矢分量与频率之间的关系

其中，γx=1/(1-βx2)1/2；βx=vx/c。如果从S系观察，便有

ω(r)=γx(ω′r+vxk′x)

(4)

当入射角θi为零，将公式(1)～式(3)代入式(4)便得到

ω(r)=ωi

(5)

可见当介质平板沿x轴以速度vx运动时，垂直平板入射的电磁波不存在相对论多普勒频移。

对图1(b)介质平板沿z轴以速度vz运动的情况，与上述过程类似，可得到

(6)

其中，γz=1/(1-βz2)1/2；βz=vz/c。入射角θi为零时，公式(6)变为

(7)

因此，当介质平板沿z轴以速度vz运动时，垂直平板入射的电磁波存在相对论多普勒频移。

3 运动界面上反射波和入射波的振幅比

由上述第1节的讨论可知，介电平板是非铁磁介质，故只需考虑入射电磁波的电场分量E。若介质静止时，可由边值关系对振幅的约束来确定边界上反射波和入射波的振幅比[1]。当电场振幅E的方向垂直于入射面时，有

(8)

当电场振幅E的方向平行于入射面时，有

(9)

其中θt为折射角。

当介质界面如图1(a)、(b)所示的方式运动时， 由文献[9]中所给出的方法，只考虑电场振幅E的方向垂直于入射面的情况，可利用洛伦兹变换给出运动界面上反射波和入射波的振幅比。

考虑图1(a) 中介质平板沿x轴以速度vx运动的情况，当电场振幅E的方向垂直于入射面时，

(10)

考虑图1(b)中介质平板沿z轴以速度vz运动时，当电场振幅E的方向垂直于入射面时，

(11)

4 运动界面上的半波损失

由公式(8)可知，对静止介质，当电磁波E分量垂直入射面时，电磁波由光疏介质入射到光密介质，有θi>θt，Er/Ei<0，说明反射波和入射波反相，即存在半波损失[1]。

当介质界面按如图1(a)、(b)所示的方式运动时，其反射波和入射波的振幅比已不能用公式(8)表示，上述两种情况下的反射波和入射波的振幅比由式(10)和式(11)表示。特别地，我们讨论入射电磁波垂直于介质界面的情况, 当介质平板沿x轴以速度vx运动时，电场振幅E的方向不论是垂直于入射面或平行于入射面，式(10)均退化为

(12)

同理，当介质平板沿z轴以速度vz运动时，式(11)均退化为

(13)

可以看出，电磁波垂直于运动介质界面入射时，反射波和入射波不存在反相的情况，故不存在通常意义上的半波损失现象。

更一般的，我们仅考虑电场振幅E的方向垂直于入射面的情况，不论介质界面以图1(a)、(b)所示的任何一种方式运动，由式(10)和式(11)可知，入射波与反射波不再满足菲涅尔公式。为了清楚地说明这一点， 我们给定介质折射率n=1.5，做出了介质运动速度分别为0，0.5c，0.9c和0.99c时边界上反射波和入射波的振幅比Er/Ei随着入射角变化而变化的情况，如图2(a)～图2(d)所示。

图2 边界上反射波和入射波的振幅比随着入射角i变化而变化的情况(a)～(d)分别对应介质运动速度为0，0.5c，0.9c和0.99c时的情况

从图2(a)～图2(c)中可以发现，当介质运动速度达到0.9c时，考虑到电场振幅E的方向垂直于入射面，电磁波在运动介质界面上的反射波和入射波的振幅比Er/Ei存在反相的特性；从图2(d)中可以看出，当介质运动速度达到0.99c时，振幅比Er/Ei不存在反相的情况，亦即入射波和反射波的电场振幅E不存在相位相反的特性，这也表明了此时不存在通常意义上的半波损失现象。值得注意的是，当介质运动速度远小于光速c时，式(10)和式(11)可自然过渡为菲涅尔公式。

5 总结

本文考虑电磁波在运动介质表面上的半波损失情形，针对介质沿介质界面运动和垂直于介质界面运动这两种情况，利用相对论四维波矢量的洛伦兹变换关系，给出了电磁波在运动介质界面上波矢和频率的关系以及反射波和入射波的振幅比，并由此讨论了两种不同运动方式下反射波的半波损失现象。结果发现，当介质运动速度达到接近光速时，电磁波在介质界面上的反射不存在半波损失，这种现象有利于进一步加深对狭义相对论的理解，并且在光电器件制造和雷达屏蔽方面有潜在的应用[7]。