从知识的“三度空间”提升数学教师的专业素养

梁清 彭刚

摘 要 数学教师的专业知识既是保证教学效果的前提，更是提升自身专业素养的基础。然而，在教学实践中，大部分中学数学教师的数学专业知识仅拘囿于教材知识，而忽略了数学知识的广度、深度与高度，这是不利于师生的可持续发展的。为了更好地提升教师的专业知识水平，中学数学教师可着眼于数学知识的广度、深度和高度，多维度增加知识容量，提升自身的专业素养。

关键词 数学教师 三度空间 专业素养

中图分类号：G451                                 文献标识码：A  DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.10.036

Abstract The professional knowledge of mathematics teachers is not only a prerequisite for ensuring the teaching effect， but also a basis for improving their professional quality. However， in the teaching practice， the mathematics professional knowledge of most middle school mathematics teachers is only limited to the knowledge of teaching materials， but ignores the breadth， depth and height of mathematics knowledge， which is not conducive to the sustainable development of teachers and students. In order to better improve the professional knowledge of teachers， middle school mathematics teachers can focus on the breadth， depth and height of mathematics knowledge， increase the knowledge capacity in multiple dimensions， and improve their professional quality.

Keywords mathematics teacher; three-dimensional space; professional literacy

0 前言

《國家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》中提出要“提高教师业务水平，包括专业水平及教学能力。”[1]教师的“专业水平”指导着“教什么”，“教学能力”指导着“怎么教”，而“教什么”是“怎么教”的前提。换言之，教师的专业知识素养水平是举足轻重的。中学数学教师若想提升自身专业素养，则应扩大知识领域，而非满足于教材表层的知识。数学教师可尝试从不同维度挖掘，拓展延伸数学知识的“广度、深度和高度”，即可着眼于数学知识的立体三度空间（如图1）来增加自身知识容量，进而对数学科知识内容有更通透的认识和把握，更好地进行教学。

1 广度提升——把握结构体系，统筹整体脉络

《普通高中数学课程标准（2017）》提出“教师应不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标，整体把握教学内容。”[2]即教师不仅要从微观层面掌握每个知识点，也应从中观层面理清整个单元知识结构，更应要能够宏观地把握分支学科的结构体系，统筹认识其整体脉络，拓展知识广度。

案例1：高中数学的解析几何的内容结构是何？

中学数学的解析几何，主要是利用直角坐标系以及极坐标系来研究直线和圆锥曲线的方程及性质。概括而言，高中解析几何主要是利用坐标法来解决两种问题：其一是通过给定条件点的轨迹，借助坐标系求其方程;其二是通过方程研究该曲线的性质。

高中数学的解析几何整体知识结构如图2。

数学教师应懂得透过零散的现象，能把零碎的知识关联起来，把握知识的结构框架与体系，进而明晰教学思路，有层次地展开教学。

2 深度提升——挖掘思想方法，渗透数学文化

《普通高中数学课程标准（2017）》中指出“数学文化包括数学的思想、精神、语言、方法、观点等”，[2]强调把数学文化融入学习。在显性数学知识后面，常常隐藏着数学文化的重要部分——数学思想方法。数学思想是对数学事实和理论知识抽象概括后产生的本质认识。[3]数学方法是指用数学语言描述事物的状态、关系和过程，是为了解决数学问题而采取的程序、途径和行为方式。[4]在运用数学知识和数学方法解决问题时，数学思想借助数学方法体现出来并起指导性作用。实践中，明线的数学知识的教学，是师生从直观的角度去学习具体的知识;暗线的数学思想方法的教学，是初步掌握数学知识，然后借助习题等方式去掌握方法和技巧，最后进一步领悟思想，渗透数学文化。只有培养学生的数学思想方法，才能真正提升学生的素养水平和数学能力。

案例2：圆锥曲线教学中隐藏的数学思想方法有何？

圆锥曲线内容隐含的数学思想方法主要有数形结合、类比、函数与方程、转化与化归和分类讨论等。[5]“数形结合”是把圆锥曲线的几何性质与平面图形的几何性质结合起来，数和形相辅相成，优化解题技巧。“类比”主要体现在椭圆、双曲线和抛物线的定义和简单几何性质教学上，通过类比、区别和联系进行研究。“函数与方程”主要是用于研究变量的最值问题和取值范围上，通过建立函数关系，转化为值域等问题。“转化与化归”是要将圆锥曲线相关问题转化为其他等量（或不等）关系上，如与平面向量、基本不等式等知识联合。“分类讨论”是考查解题的严谨性，如对直线斜率是否存在、离心率的取值范围等问题的周全考虑。

圆锥曲线知识隐含的主要数学思想方法如图3。

数学教师要挖掘知识的深度，透过表层数学知识掌握内在数学思想方法，并渗透数学文化。数学学习的根本目是让学生掌握数学思想方法，在教学中，除了让学生掌握知识结论之外，教师更要渗透数学思想方法，带领学生站高望远。

3 高度提升——运用高观点导教，以延伸知识护航

高观点是指用高等数学或现代数学的思想和观点来看待中学初等数学问题，指站在更高更宽的知识体系中去认识和理解下位知识，并以此来指导教学。[6]中学数学教材中的不少概念是以描述性的形式呈现的，一般给出的是概念的外延，而对于概念的内涵则很少讲清楚。鉴于中学生的生理和心理发展不够成熟的特征，这样的概念描述虽可能不够绝对严谨，但可认为是合理的。然而作为中学数学教师，不应只满足于中学教材中的知识，应提升知识高度，为教学保驾护航。如若局限于教材书本，那么对概念的理解亦是不够彻底的。另外，如若教师长期只是接触教材中的知识内容，没有触类旁通，则其思维容易固化生锈，思考问题会不够灵活或不够全面，最终会影响对学生思维的培养。教师只有具备更高的观点，才能更有效的指导教学。

案例3：频率的极限就是概率吗？

在高中数学人教A版必修3中概率的定义是：相同条件下重复次试验，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某个常数上，则称为事件的概率。

此处的问题是上述的“稳定在某个常数上”该如何理解？能否说频率的极限即为概率？亦即在次重复试验中，是否有“对于使得当时，有成立？即是否恒成立？”事实上并不能如此理解，如在试验中是有可能出现的情况的，即，此时当时，即使足够大，也不能使得当时有成立，即是有可能发生的，只是说当足够大时，其发生的可能性会非常小。当重复试验次数足够大时，用频率估算概率产生的误差就足够小，即有。

做为教师，不应该笼统地告诉学生“可以用频率去估算概率”，而应清楚它们的区别和联系。要让学生明白概率是一个具体确定的数，不因试验而改变;频率在试验之前是不确定的，做一样次数的同一个试验，事件A发生的频率也可能是不同的，即頻率具备不确定性，但频率是具有稳定性的，即当试验次数慢慢增大，频率就慢慢稳定于概率。

教师只有站在更高的位置，持有更高的观点，才能更充分地认识知识的内涵。特别是对于中学数学中涉及到大学高等数学的一些拓展性和衍生性知识的理解和把握，不仅能提升自身知识水平的高度，也能让自己的教学目光更远大，进而能更好地开展教学。

4 结语

每一个数学教师都有自己需提升的方向，根据需求选择合适的方法，不断拓展自身的数学知识。教师在提升自身数学专业素养水平时，可以参考从数学知识的广度结构、深度思想方法和高度观点来扩充知识容量，平时可多研究现代数学知识内容，不断提升专业素养水平，服务于教学。

（1）宜游目骋怀，防目光如豆。数学教师要拓展知识广度，则应弄清学科分支知识结构，要能够以点连线，以线成面，织造发散的知识网。应纵目四望，打开视野，防止紧盯单个知识点，零散教学。教育家布鲁纳特别指出学科结构的重要性，那么作为数学教师，则首先要自己清楚知识的整体脉络结构，能以零串整，让各知识点不再孤立、分散，从而对教学内容有一个整体的规划。

（2）应钩深索隐，忌蜻蜓点水。对于教材呈现出来的知识内容，数学教师应该要能透过现象看到本质，不能只是停留在浅层面的理解上，应深挖探索知识后面的隐性数学思想方法，带领学生掌握数学的灵魂。作为教师，首先自己要清楚在显性的知识内容的后面有哪些深度隐性的数学思想方法，才能更好地提升学生的解题技巧和提高学生的数学思维。

（3）宜登高望远，避坐井观天。井蛙焉知天地之大哉。只有站得更高，才能领略更美的风景。在教学中亦是如此，具备更高的观点，看问题就会更全面、更透彻。数学教师不应只满足于中学初等数学的知识，应该多看看高等数学的内容，并非说要教中学生很难的高等数学，而是让自己的知识立足点更高，能更有效地指导教学。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）[M].北京：人民出版社，2010.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 李祎.提高教师数学素养的“六维度”[J].数学通讯，2012（10下）.

[4] 陆晓晶.小学数学教师数学素养的培养[J].人文之友，2018（9）.

[5] 任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析[J].中国数学教育，2018（7-8）.

[6] 林毅.基于教师专业发展的高观点数学知识研究[D].福建师范大学，2015.5.