双偶数阶始元幻方的同余构造法

张 婧，刘兴祥，董朦朦

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

矩阵不仅是各数学学科，而且也是许多理工学科的主要数学工具。矩阵的研究极大地推动和丰富了其他众多学科的发展。近年来，许多学者关注幻方研究的问题，其研究成果[1-10]也相当丰富。关于幻方的构造已有很多种方法，本文在充分掌握了幻方定义之后，给出双偶数阶(4k阶)始元幻方的一种构造方法。

1 预备知识

定义1[1]若矩阵A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}n×n满足

①∀i∈{1，2，…，n}有

②∀j∈{1，2，…，n}有(1 1 … 1)1×n·

③Sr=Sc=(1 1 … 1)1×n·

④当i≠k或j≠l时，∀i,j,k,l∈{1，2，…n)均有aij≠akl。

则矩阵A为n阶始元和幻方，并称S为n阶始元和幻方A的幻和。

2 主要结论

定理设矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n，

其中，集合P={0,1},Q={2,3}，则矩阵A是n(n=4k,k∈N*)阶始元幻方。

证明令S={u|u≡a(mod4),a=0,1}，

T={v|v≡b(mod4),b=2,3}，

又由定理可知，当i∈S时，矩阵A的行和满足

32k3+2k。

同样地，当i∈T时，

32k3+2k。

即矩阵A的行和Sr=32k3+2k。

同理，矩阵A的列和Sc=32k3+2k。

又因为当i∈S时，4k+1-i∈S；当i∈T时，4k+1-i∈T。所以

aij+a4k+1-i,n+1-i=n(n-i)+(4k+1-i)+

n(n-(4k+1-i))+(n+1-(4k+1-i))=

n2+1=

16k2+1，

ai,4k+1-i+a4k+1-i,i=16k2+1。

所以矩阵A的主对角线和与副对角线和分别为

32k3+2k。

当i≠k或j≠l时，∀i,j,k,l∈{1，2，…n}，

n(i-1)+j≠n(k-1)+l≠

n(n-i)+(n+1-j)≠n(n-k)+(n+1-l)，

即当i≠k或j≠l时，∀i,j,k,l∈{1,2,…n}均有aij≠akl。

故矩阵A为n(n=4k,k∈N*)阶和幻方，简称n阶幻方。

又∀i,j,∈{1，2，…n}均有1≤(i-1)×n+j≤n2，1≤(n-i)×n+(n+1-j)≤n2，所以矩阵A中的元素满足1≤aij≤n2，即矩阵A的元素是{1，2，…,n2}的全排列。综上所述，矩阵A为n(n=4k,k∈N*)阶始元幻方。

根据上述定理我可以写出4阶始元幻方A和8阶始元幻方B如下：

3 小结

本文在充分掌握了幻方的基本知识后，运用其元素的规律构造了4k阶始元幻方。运用元素间基本规律构造2k+1阶幻方以及4k+2阶幻方的方法有待进一步研究。