立足结构、关注对比、理解本质

李霞

北师大版小学数学教材将《运算律》这一内容安排在四年级教学。本单元教学目标是在学生掌握基本运算顺序的前提下，学习加法、乘法的交换律、结合律，以及乘法分配律这五种基本运算定律，其目的是让学生能更简便、更准确地进行计算，同时也为后续进行小数、分数的计算打下基础。

然而，从平时的教学中我们发现，学生在运用单个知识时“游刃有余”，学习的准确率非常高;但是五个运算律都学习之后，很多学生出现了“东拼西凑”“牛头不对马嘴”的现象，所以，对单元知识进行整理与疏通显得尤为重要。

教学片段一：借助“式图”，在探讨中疏理运算顺序

教师出示下面的“式图”，先让学生观察，再说说它的运算顺序。

生：先算乘法，再算加法。（课件演示生1方法）

师：假如黑色方框表示“225÷3”呢？

生：先算除法，再算乘法，或者除乘可以一起计算，最后算加法。

师：如果白色方框表示（20+5）呢？

生：有小括号的要先算小括号里面的。

你能把四则运算顺序完整地说一说吗？你觉得下面同学的运算正确吗？

教学思考：本单元的第一节课内容就是四则运算。该内容学生掌握比较好，所以我们就设计了用“式图”说运算规则的开放性的题目，目的是带出计算法则。学生讨论積极，参与性特别高。

教学片段二：变化“式图”，在破与立中复习运算律

（一）复习整理交换律

观察算式说想法。

1.辨别说理由。

师：你觉得这样计算正确吗？为什么？

生1：图2把白色和灰色的乘积看作一个整体，（课件出示一方框盖住白色和灰色方框）那么黑色加这一方框就等于这一方框加黑色了。

生2：图2是运用加法交换律a+b=b+a

师：a、b表示什么？

生1：a、b可以表示两个数相加，也可以表示是两个算式之和。

生2：只要将加号的左边与右边交换，结果都相等。

师：那图3你觉得正确吗？

生1：图3是交换了两个乘数的位置，根据乘法交换率a×b=b×a，所以我觉得也是正确的。

生2：我觉得和加法交换律一样，a、b也可以表示是两个算式，只要将乘号左边与右边交换，结果都不变。

2.两个数相加或相乘可以交换位置，那么三个、四个呢？说说你对加法交换律或乘法交换律的理解。

教学思考：加法、乘法交换律相对比较简单，图2主要是让学生理解交换位置不只是两个数交换，也可以将算式中某一部分看作一个整体进行交换，深化了交换的意义;图3是让学生明白并不一定整个算式一起运用运算律，算式中的某一部分也是可以运用运算律的。最后通过追问，让学生明白只要是加号、乘号连接，都可以左右交换这些数（算式）而结果不变。这样的开放的教学设计，基于学生良好的学习基础，所以，学生的思考空间大，学习的水平自然就提高。

（二）复习整理结合律

师：这样计算有可能相等吗？为什么？同桌交流，举例说明。

生1：我认为不正确，因为乘法和加法是不能互相代替的。

生2：我认为也有正确的可能，假如当图4的白色和灰色都表示2，那么这样计算就是正确的。

生3：图5中如果黑色和白色表示2，灰色表示1，这样计算也是正确的。

生4：但是，如果填入其他数字就不行了。

师：同学们表述得非常好，也就是说这样的算式不确定。那么，你觉得如何改变题目，这样计算就能保证是正确的呢？

生：将图4的乘号改成加号，图5的加号改成乘号。如此，图4是运用了加法结合律（a+b）+c=a+（b+c），图5是运用了乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）。这样就能保证是正确的了。

教学思考：学生通过举例验证计算的正确性，是对思维的一种反思与提升，让学生在互相交流、辨析中表达自己的想法，提高了思维的严密性。让学生打破常规思维，将知识互相转化与融合，体现了数学知识间的贯通性。让学生通过改题，则是对运算律特征的深入理解。

（三）复习整理乘法分配律

师：这样计算又是否正确呢？

由于有了上面的经验，学生不会马上表述想法，纷纷开始验证。

生1：当这三个数都是1的时候，这样计算是正确的。

生2：当黑色和白色表示2，灰色表示1的时候，也是正确的。

……

生4：无论黑色和白色表示什么数，只要灰色表示1，就是正确的。

（课件出示灰色表示1）

师：这又是为什么呢？

生：因为黑色可以看作乘以1，那么黑色乘以1加白色乘以1，就等于黑色加白色的和乘以1。

师：如果灰色表示2、3、4…任意一个数呢？它们有没有要等的可能？

（生进入讨论阶段）

生1：只要黑色中能拆出几个灰色，就可以这样计算。如：10+7×5=2×5+7×5。

生2：我同意他的想法，因为这样一来就可以用乘法分配律表示a×c+b×c=（a+b）×c。

教学思考：如果学生在新课学习中关注习得，那么，在复习课教学中，教师应该给予学生的是对比、辨析与创造。上面的教学中，教师没有给学生具体的数字，而是给了一个“模式”题，让学生在不断举例中验证自己的想法，不断地在行与不行中“奔跑”，这样的复习不是简单的梳理，是梳理后的再梳理，是对学习知识的“再造”，是对学习能力的一次新提高，这种由特殊到一般的总结促使学生思维不断得到提升，为后续学习打下基础。

教学片段三：式图互通，分类辨析中再构知识

教师出示六个算式，先让学生观察，再给它们分分类。

①50 + 25 × 4 ②（50 + 25） × 4

③4 × （25 + 50） ④4 + 25 + 50

⑤50 × （25 × 4） ⑥（50 × 25） × 4

1.分类的依据是什么？可以如何计算？

（1）理解任何算式都可以运用四则运算进行计算。

（2）根据算式特点选择合适的运算定律。

2.上面不能用乘法分配律计算的算式，你能不能改变题目，使它们也可以用乘法分配律计算？

3.想一想：算式“50+25×4”不改变题目，能不能运用乘法分配律计算呢？

教学思考：习题设计题组化，可以提高习题的使用效率，要让学生在解答中触摸到习题变化的“脉搏”，直观感受变化带给学生思维的直接触动。具体来说，通过让学生“改”题目进一步理解乘法分配律的特点;同时也避免了以前学生因为数字的欺骗而盲目地凑整去运用运算律;这样的习题，还打通了算式之间、运算律之间的关系，让学生知道数学知识是互通的;更为绝妙的是学生对这种创造题目的解答表现出了极大的积极性，思维的水平层次达到了一个新的高度。

总之，本课教学中，我们针对学生的学习现状，立足梳理、关注对比、理解本质，具体教学中以结构为原点，以知识串通为要件，以开放建构为手段，让学生在破与立、个别与一般、顺向思维与逆向思维中强化了运算律的本质属性，发挥了学生的思维创造力。