不同寿险精算模型下均衡纯保费的责任准备金的探究

宋鹏飞 高符严山东大学数学学院

由于自然保费与均衡纯保费的差异，在寿险精算模型下形成了均衡纯保费责任准备金。

虽然从整个保单的期限来说，保险金的支出和保费的收入应当是平衡关系，但是根据现有的生命表的规律显示，随着被保险人年龄的增加，自然保费也是相应增加的，所以虽然前期的均衡纯保费往往大于自然保费，但是到了后期均衡纯保费是不足以支付自然保费的。为了弥补自然保费后期的不足，保险人必须将均衡纯保费在前期超过自然保费的部分积累起来，以此来为后期提供充足的保费，这部分资金也就被称为保险人的责任准备金。同时也正是因为存在责任保证金，寿险保单才能被称为具有价值，此价值被称为保单价值。

以下，我们对各类由不同趸缴纯保费与缴纳保费的方式产生的均衡纯保费责任准备金进行探究。以年龄为x岁的终身寿险举例，以与分别表示保险受益金在死亡所在年度末支付与立即支付的趸缴纯保费；以与分别表示年初付终身生存年金精算现值与连续型终身生存年金精算现值；以P表示均衡纯保费的主体字母。

一、全离散型终身寿险模型的责任准备金

全离散型寿险模型指保费按期初付生存年金方式缴付,死亡给付在死亡所在的保单有效年度末支付的离散型保险模型，这种方式导出的均衡纯保费的责任准备金我们称作全离散式寿险模型的责任准备金。

以1单位普通终身寿险为例，导出责任准备金公式：设年龄为x岁的被保险人的年缴纯保费为，在x+k岁时的剩余寿命周年数用随机变量表示，保险人在时刻k的损失为,是每年年初付1单位终身生存年金的现值，且我们有,所以我们可得到k时刻期末责任准备金的未来法公式为，其余类型的责任准备金可由其定义做类似推导。

二、全连续型终身寿险模型责任准备金

全连续型寿险模型指保费按期初付连续生存年金方式缴付，死亡给付在死亡发生时刻立即支付的连续型保险模型，这种方式导出的均衡纯保费的责任准备金我们称作全连续型寿险模型的责任准备金。

我们以年龄为x岁的保额为1单位全连续式终身寿险的责任准备金为例，保险金在被保险人死亡时立即给付，年缴纯保费用符号表示。设该保单在t年的纯保费责任准备金为，随机变量U表示年龄为x+t岁者的未来寿命，则该寿险的保险损失为，则有。其余类型的责任准备金也可按照其具体定义类推。

三、半连续型终身寿险模型的年缴均衡纯保费

半连续型终身寿险模型分为两种，它们之间的区别主要在于保费缴费方式与死亡赔偿金的支付方式。其中一种为保费按起初付连续生存年金方式缴付，死亡给付在死亡发生时刻立即支付的保险模型，但是在实务中更为常见的是保费按期初付生存年金方式缴付，死亡给付在死亡所在的保单有效年度末支付的保险模型，这种方式导出的均衡纯保费的责任准备金我们称作半连续型寿险模型的责任准备金。

我们同样以年龄为x岁的保额为1单位半连续式终身寿险的责任准备金为例，保险金在被保险人死亡时立即给付，年缴纯保费用符号表示。我们可设被保险人在x+k岁时的剩余寿命周年数用随机变量表示，被保险人在x+k岁时的未来寿命用随机变量U表示，则保险人在时刻k的损失为是每年年初付1单位终身生存年金的现值，且我们有,所以我们可得到k时刻期末责任准备金的未来法公式为，其余类型的责任准备金可由其定义做类似推导。

根据几种计算公式的推导，可以看出责任准备金的计算原理为保险人损失的预期期望，即E[L]。依此来平衡自然保费与均衡纯保费的差异，使得寿险保单才能被称为具有价值。

显然，我们推导的全连续模型与半连续模型中保险费按连续型生存年金缴付这两种类型在现实生活中是不可操作的，但我们仍可从理论上对它们进行同等程度的讨论，因为这有助于我们完善整个寿险精算理论体系。