“再创造”跨越断层 “可视化”驱动思维

丁洪

[摘 要]“再创造”能搭建自由的学习平台，引导学生经历学习中的“关键步子”，帮助学生跨越思维的断层。在“用字母表示数”的教学中，梳理、对比和整合 “差异化资源”，驱动学生思维的“可视化”，达到“激发和引导学生自我发展”的教育目的。

[关键词]再创造;有效经历;思维训练;数学化

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0006-03

现实的教学侧重理性，短平快的“跨越”会使思维产生断层，机械模仿只为“以学备用”。弗赖登塔尔推崇的“再创造”思想强调依靠学生的原有经验和前概念，顺势而为地引导学生经历知识产生和发展的全过程。尤其是“关键步子”的聚焦，“可视化”的思维碰撞，既能推动学习深入，获得必要知识，又能促进思维发展，提升关键能力，真正实现“以学促思”的数学化教学目标。

笔者在某次观摩活动上执教的“用字母表示数”一课，就紧紧围绕“再创造”的理念来演绎数学化教学，引导学生调用已有的经验驱动概念的建构。

【教学片段一】初步创造，激活经验

师：星期天，大头儿子和小头爸爸在家玩拼图游戏。拼1个独立的三角形，用3根小棒。你能往下接吗？

生1：拼2个三角形，用6根小棒。

生2：拼3个三角形，用9根小棒。

师：为了方便研究，我将信息整理成表格，把6根换成“3×2”，以此类推，你有什么发现？

生3：每个三角形用的根数一样多。

生4：多一个三角形，就多3根。

生5：三角形越多，用的根数也越多。

师：6个三角形需要多少根小棒？8×3表示什么含义？

生6：6个三角形，需要6个3根，列式为6×3。

生7：8×3表示拼8个三角形需要的小棒根数。

师：能拼得完吗？

生（齐）：不能。

师：请想个办法，把已经拼的和还没有拼的情况都包含进去，并且能清楚反映三角形的个数和对应的小棒根数。期待你的创造！

（学生在活动单上尝试创造）

师：都用“？”或者“……”算一类，还有第二类（出示：“？”和“3×？”、“□”和“3×□”、“（ ）”和“3×（ ）”、“x”和“3×x”）。对比之后，你有什么想说的？

生8：感觉第二类要清楚一些。

生9：第二类容易看出对应关系。

生10：三角形有几个，小棒根数对应就是几个3根。

师：遇到未知的数，常用“？”“（ ）”和“□”。今天我们换种方式——用字母表示数。你怎么想到用x表示的？

生11：数学社团的老师提起过。

师：除了用x可以表示三角形个数，其他字母行吗？

生12：都可以，外形不同，作用一样。

师：被你们看穿了。如果我选a表示三角形个数，对应的小棒根数就是——

生13：3×a。

师：a可以是哪些数？

生（齐）：0、1、2、3…是自然数。

师：可以是半个吗？

生（齐）：不可以。

师：看来，从三角形的实际情况来考虑，a相应的就有了范围。

【思考：首先创设“拼图形”情境，将零散的信息整理成表格，对比发现三角形个数和小棒根数的对应关系，巧借概括性表达的实际需要，驱动学生调用经验进行创造活动;接着在分类比较的基础上，引导学生感知符号和字母具有相同的效用，使学生换个方式表达的想法自然生长;最后引导学生结合三角形的图形特征，理解字母范围。】

【教学片段二】对比创造，建构模型

师：不知道大头儿子和小头爸爸的年龄，我们可以用哪个字母表示？

生1：用字母a表示。

生2：用字母b表示。

生3：26个字母都可以。

师：是的，字母在这里的作用是一样的。如果用字母x表示爸爸的年龄，大头儿子的年龄可以用字母x表示吗？

生4：我觉得不行，用相同的字母，感觉年龄一样了。

师：你的感觉是对的。在同一个问题情境中，不同数量一般用不同的字母表示。

师（出示：大头儿子比小头爸爸小24岁）：怎么表示大头儿子的年龄？

（学生活动，教师巡视）

师：你觉得哪种方法比较好？先独立思考，再小组交流。

（第一类：用单个字母表示，如“y”;第二类：x-24）

生5：我们小组认为“x-24”能表示大头儿子的年龄，还能看出父子之间相差几岁。

师：给了结果，还说出理由，真棒！接下来，玩“对口令”游戏，试着用含有字母的式子表示数量，看谁的反应快！

师：小头爸爸a岁，大头儿子——

生6：（a-24）岁。

师：大头儿子b岁，小头爸爸——

生7：（b+24）岁。

师：你们都能紧扣条件表达，非常好！再来“对口令”，如果小头爸爸25岁，大头儿子几岁？

生（齐）：1岁。

师：出生了。如果小头爸爸31岁，大头儿子几岁？

生（齐）：7岁。

师：上学了。能说得完吗？

生（齐）：说不完。

生8：不对，人的年龄是有限的。

师：是的，年龄有范围，相应的，含有字母的式子就有范围。

【思考：首先创设“算年龄”情境，將知识顺势迁移，使学生在简单运用中体会“同一情境中，不同数量一般用不同字母表示”的数学约定;接着增设条件，搭建“再创造”平台，促使学生通过对比评价活动，感知含有字母的式子不但能表示数量，还能清楚地反映数量之间的关系;最后的游戏活动，一是“变式训练”，二是“代数求值”，让学生进一步感知取值范围对应的问题实际。】

【教学片段三】反思创造，理解简化

师：你能写出正方形的周长和面积公式吗？

生1：正方形的周长C=a×4。

生2：正方形的面积S=a×a。

师：用字母表示公式，显然比文字表达要简洁。其实，简洁是数学发展的需要，这些式子还能再简洁吗？

（学生创造： C=a4、C=4a、S=aa）

师：数学家又是怎样创造的呢？请自学课本。

生3：C=a4是错的，省略乘号时“数字在前，字母在后”，应写成C=4a。

生4：S=aa是对的，还可以写成“S=a2”，“a2”讀作“a的平方”。

生5：a×1=a，字母和1相乘等于本身。

师：“·”表示什么？

生6：我觉得像是“×”的缩小变形。

生7（手势配合）：就是这样，把四边向中间合拢。

师：思维碰撞，渡人渡己，真棒！从上往下看，越来越简洁，方便表达;从下往上看，能追根溯源，把握本质。

师：在历史上，用字母表示数的过程可没有这么简单，不信你听！

[z][r][j]

（播放“字母表示数的历史”录音;略）

师：看来，从只能表达特定意思的字母，到现在拥有变通魔力的符号，这是数学家的创造，也是历史的选择。

【思考：首先是借用简洁表达的需要，驱动学生自主创造;接着基于评判对错的需要，驱动学生自学反思，并在辨析中梳理知识、解决困惑和建构规则，尤其是“自上而下”和“自下而上”的观察比较，能够引导学生掌控方向、聚焦方法和把握本质;最后的穿越历史相当于“替代性创造”，引导学生体验字母的作用和内涵，感悟“再创造”的生活基础和智慧付出，以丰富学习的意义。】

【评析】

“用字母表示数”是人们为方便生活表达的创造，也是数学自身简约发展的追求。在整个“数与代数”板块中，“用字母表示数”的作用和地位比较特殊，既属于核心知识，又肩挑承前启后的重任。学习这部分知识，能够增强学生表达问题的能力，沉淀“代数”的数学思想，为代数式及其运算、方程等的后续学习做好必要铺垫。

要想达到理想的学习效果，教学中不能忽视这些问题，即“为什么选择用字母表示数？”“字母怎样表示数？”“在具体情境中，字母表示什么样的数？”“字母表示数的意义和价值是什么？”“字母表示数的历史是什么？”等。只有把这些问题想清楚，才能更好地设计和实施“再创造”活动，以帮助和驱动学生有效地建构数学知识。

一、创设情境，激发创造

教学中，围绕大头儿子和小头爸爸的周末生活，先后创设“拼图形”“算年龄”和“巧简化”的情境，以及展示练习中衣食住行的问题场景。连续的、完整的和全方位的情境体验，使“再创造”活动顺利切入，并因接地气而孕育灵气。

例如，在“拼图形”情境中，提出“请想个办法，把已经拼的和还没有拼的情况都包含进去，并且能清楚反映三角形的个数和对应的小棒根数。”驱动未知数量表达方式的创造;在“算年龄”情境中，提出“怎么表示大头儿子的年龄？”驱动含有字母的式子的创造;在“巧简化”情境中，提出“这些式子还能再简洁吗？” 驱动规则简化的创造。显然，这些问题贴近学生的认知，具有真实性，能激发学生的兴趣和潜能，促使学生的学习状态从“被动”走向“主动”。

二、搭建平台，个性创造

智慧的火花被问题点燃后就需要“平台”来记录和整理。这里的平台，其实是指学生思考的时间和空间。这样做是想让学习进程慢下来，让学生经历“再创造”过程，养成独立思考和自我对话的习惯。

例如，在“拼图形”情境中，学生调用原有表示未知数的经验，创造出纯符号和形如“？”和“3×？”的表达方式;在“算年龄”情境中，结合已知数量和数量关系，创造出单个字母和含有字母的式子两种表示年龄的方式;在“巧简化”情境中，根据自己的理解，进行初步的简化尝试。尽管创造的结果相对“粗糙”，但是却生动地、充分地暴露了学生的即时状态和思维过程。直播式的“再创造”，可爱、可控和可调，使学习方向由“模糊”变得“清晰”。

三、巧妙对比，优化创造

创造的成果为互动交流和问题争鸣提供了素材。这些素材丰富多彩、角度多样，是差异化和共性化的并存。将这些素材巧妙梳理和分类，有序呈现和对比，能激发学生的表达欲望，提升学生的表达质量，优化学生的创造成果。

例如，在“拼图形”的情境中，先将表示数量的方法梳理成两类，比较后发现第二类能清楚地表示数量，接着聚焦第二类的内部结构，在发现符号和字母都具有表示数量的功能后，顺势引入新知的学习;在“算年龄”情境中，先将表示年龄的方法梳理成两类，比较后发现，第二类能表示年龄，还能反映年龄之间的关系;在“巧简化”情境中，将文字公式、字母公式和逐步简化过程中的公式进行对比，还将历史中字母的自我发展一起对比。显然，经过对比的过程更生动、思维更透彻和结构更稳固，促使学习方式从“植入”变成“建构”。

四、积极反思，感悟创造

就本课而言，在板块教学中，已经借助即时反思，解决了部分课前提出的问题。但是，这样的反思行为是局部的，缺少连续性和整体性，对学习的帮助也就是“点到为止”，难以让学生习得“能带得走的能力”。

要想反思有效，可以将思考的零散碎片整合在“再创造”模块之内。例如，在“巧简化”情境中，数量关系的表达方式有4种，每种表达方式都对应一种抽象水平。“自上而下”的对比反思，能感知简化的方向和方法;“自下而上”的对比反思，能还原简化本来的“面貌”;“一上一下”的整体互动，使模块学习自成体系。又如，将字母表示数的相关问题，巧妙融合在字母表示数的历史中，通过其发展历程的动态演绎，将静态的、浓缩的和人为分解的知识“无缝对接”。“一动一静”，使模块学习更具画面感和生命力。显然，有反思的学习更具温度和深度，促使学习收获从“知识”变成“能力”。

显而易见，弗赖登塔尔所提倡的“再创造”，既搭建了学生自主、自由和自在的学习平台，又在梳理、展示和整合思维方面做出最大努力，达到“激发和引导学生自我发展”的教育目的。但是，在教学实践中，有一种现象要警惕，就是只有自由创造之形，缺少有条理的思维训练之实的活动。这种虚伪的“再创造”，华而不实、牵强附会和漫无目的，需要认真甄别。

[本文系南通市“十三五”教育科学规划2016年度青年专项课题“基于问题驱动的数学化过程的研究”阶段性成果（课题编号：QN2016012）。]

（责编 金 铃）