高阶模糊差分方程动力学行为分析

张千宏，林府标，钟筱莺

(1.贵州财经大学 数学统计学院，贵州 贵阳 550025；2. 贵州财经大学 图书馆,贵州 贵阳 550025)

差分方程以离散系统及微分方程与时滞微分方程的数值解形式出现，其在经济学、生态学、计算机科学、控制工程等方面有许多重要的应用[1-6].科研工作者得到了一些非线性差分方程振动性、周期性及有界性的成果，类似的结论推广到了两个非线性差分方程系统[7-11].

不确定性在许多应用领域是非常重要的研究内容，针对现实问题建立模型时，系统参数或初始值含有模糊不确定性.经典的确定性问题建模，因为系统的状态变量、模型的系统参数、初始条件不确定等因素经常会导致模型的模糊不确定性.在建立数学模型时，模糊集理论是处理模型中不确定性的强有力的工具.特别地，模糊差分方程是动力系统建模的一种重要方法.模糊差分方程是一类特殊的差分方程，方程中的常数或初始值为模糊数，它的解表现为模糊数数列.在分析事物内在的不确定现象时，应用模糊差分方程来处理是非常重要的.最近，学者们对模糊差分方程的研究兴趣与日俱增[12-24].文献[16]运用模糊差分方程模型，研究了金融领域中货币的价值随时间变化情况.文献[19]研究了下列模糊差分方程

其中：A与初始值x-m,x-m+1,…,x0是正模糊数.

论文进一步研究下列高阶模糊差分方程

(1)

其中：A与初始值x-k,x-k+1,…,x0为正模糊数.

首先给出一些基本定义[13，15].

定义1A为模糊数，如果A:R→[0,1]满足(i)～(iv)：

(i)A是正规的，即存在x∈R， 使得A(x)=1；

(ii)A是模糊凸的，即对所有的t∈[0,1]和x1,x2∈R，使得

A(tx1+(1-t)x2)≥min{A(x1),A(x2)};

(iii)A为上半连续的;

A的α截集表示为[A]α={x∈R:A(x)≥α},α∈[0,1]， 显然[A]α是一个闭区间.如果suppA⊂(0,∞)， 则模糊数A是正的.如果A为正实数 (平凡模糊数),则对任意α∈(0,1]，A的截集表示为[A]α=[A,A].

定义2设A,B为模糊数[A]α=[Al,α,Ar,α],[B]α=[Bl,α,Br,α],α∈(0,1]，模糊数空间范数定义为

A,B间的距离定义为

定义3如果存在正实数M(或N)，使得

suppxn⊂[M,∞)或(suppxn⊂(0,N]),n=1,2,…,

则称模糊数数列{xn}是持久的 (或有界的) .如果存在正实数M,N>0，使得suppxn⊂[M,N],n=1,2,…， 则称正模糊数数列{xn}是持久且有界的.如果‖xn‖(n=1,2,…),是无界的,正模糊数数列{xn}为无界的.

定义4如果{xn}是正模糊数数列且满足方程(1)，则xn为方程(1)的正解.如果x=A+x/kx，则正模糊数x为方程(1)的正平衡点.

定义5设{xn}是正模糊数数列，x为正模糊数，记

[xn]α=[Ln,α,Rn,α]，n=0,1,2,…，

(2)

且

[x]α=[Lα,Rα]，α∈(0,1]，

(3)

定义6假设方程(1)有唯一的正平衡点x，如果对任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得对方程(1)的任意正解xn， 当D(x-i,x)<δ,i=0,1,2,对所有n>0，有D(xn,x)<ε,则x是稳定的.如果x是稳定的，且当n→∞，方程(1)的每个正解关于D收敛于方程(1) 的正平衡点，则方程 (1) 的正平衡点x是渐近稳定的.

1 主要结论

首先讨论方程(1)正解的存在性,给出引理1.

引理1[19]设f:R+×…×R+→R+连续 ，A1,A2,…,Ak+2是模糊数，则

[f(A1,A2,…,Ak+2)]α=f([A1]α,…,[Ak+2]α),α∈(0,1].

引理2[25]设u∈E～， [u]α=[u-(α),u+(α)]，α∈(0,1]，则u-(α),u+(α)是(0,1]上的函数，满足

(i)u-(α)非减且左连续;

(ii)u+(α)非增且左连续;

(iii)u-(1)≤u+(1).

反之，对任意定义在(0,1]上的函数a(α),b(α)，满足上述(i)～(iii)，对任意α∈(0,1]，存在唯一的u∈E～，使得[u]α=[a(α),b(α)].

定理1考虑方程 (1) ，其中A是正模糊数.那么对任意正模糊数x-k,x-k+1,…,x0，方程(1)存在唯一的正解xn(证明类似文献[19]中命题2.1,此略).

引理3考虑差分方程系统

(4)

其中：p,q及初始值y-i,z-i,i=0,1,2,…,k为正实数.

下列命题成立：

(i) 假设

(5)

则当n≥3,(4)式的正解(yn,zn)满足

(6)

(ii) 若(5)式成立，则系统(4)有唯一的正平衡点(y,z)， 且

(7)

(iii) 若(5)式成立，则当n→∞时，系统(4)的每一个正解收敛于正平衡点(y,z) .

证明(i) 设(yn,zn)为(4)式的正解.当n≥1,yn>0与zn>0， 由式(4)，可得

yn≥p，zn≥q，n=1,2,3,…，

(8)

利用(4)，(8)式，有

(9)

设vn,wn分别为下列差分系统的解

(10)

使得

vi=yi，wi=zi，i=1,2,…,k.

(11)

利用归纳法证明

yn≤vn，zn≤wn，n≥k+1.

(12)

假设对n=m≥k+1,(12)式成立，那么由(9)式，得

(13)

故(12)式成立.由(10)，(11)式，对n≥k+1, 有

(14)

那么由(8)，(12)，(14)式， (6)式得证.

(ii) 设y,z为正实数，满足

(15)

则由(5)，(15)式，则得正数y,z如(7)式所述.故(ii)得证.

(iii) 设

(16)

其中：li,Li∈(0,∞),i=1,2, 由(4)，(16)式，得

由此得

L1(kq-1)≤l2(kp-1)，L2(kp-1)≤l1(kq-1).

(17)

由(5)，(17)式推出L1L2≤l1l2，由此得

L1L2=l1l2，

(18)

断言

L1=l1,L2=l2.

(19)

定理2考虑模糊差分方程(1)，其中A及x-i(i=0,1,…,k)是正模糊数，则下列命题成立：

(i) 如果对任意α∈(0,1]，使得

(20)

则(1)式的每一个正解是有界和持久的.

(ii) 如果 (20)式成立，则当n→∞时，方程(1)的每一个正解xn关于D收敛于平衡点x.

证明(i) 设xn是(1)关于初始值x-k,x-k+1,…,x0唯一正解，使得

[xn]α=[Ln,α,Rn,α],α∈(0,1],n=-k,-k+1,…,0.

(21)

类似文献[17]中命题1的证明 ，有(Ln,α,Rn,α)(n=0,1,2,…)满足下列带参数的常差分方程系统

(22)

因(20)式成立，由引理3中的 (i) ，推出Ln,α与Rn,α为有界和持久的，故正解xn为有界和持久的.

(ii) 因(20)式成立，则类似文献[19]中命题2.3，有唯一正平衡点x，其中

(23)

设xn为(1)的正解，使得(21)式成立.因(20)式成立， 运用引理3中的(iii)到系统(22)，有

(24)

由(24)式， 有

因此定理2中的(ii)得证。

接下来寻找使得(1)每一个正解渐近稳定的条件.因为A是正模糊数，存在M>0,N>0，使得

[A]α=[Al,α,Ar,α]⊂[M,N],α∈(0,1].

(25)

如果对(1)的唯一正解x，由(22)式，有

(26)

且

γ≤Lα≤Rα≤η,α∈(0,1]，

(27)

其中

(28)

定理3考虑模糊差分方程(1)，其中A是正模糊数,假设

(29)

其中：M,N如(25)式所定义,那么方程(1) 的唯一正平衡点x是渐近稳定的.

证明由(29)式，显然(20)式成立，所以从定理 2中的(ii) ，方程(1)有唯一正平衡点x.

设ε是任意正实数.因为 (29)式成立，取δ如下

(30)

其中：γ,η如 (28)式所定义.

设xn为方程(1)的任意正解，使得

D(x-i,x)≤δ<ε,i=0,1,2,…,k.

(31)

由(31)式，有

|L-i,α-Lα|≤δ,|R-i,α-Rα|≤δ,α∈(0,1],i=0,1,…,k.

(32)

由(22)，(23)，(25)，(30)，(32)式，得

(33)

由(30)，(33)式，有

|L1,α-Lα|<δ<ε.

(34)

由(22)，(23)，(25)，(30)，(32)式，得

(35)

由(30)，(35)式，得

|R1,α-Rα|<δ<ε.

(36)

由(34)，(36)式及归纳法，得

|Ln,α-Lα|≤ε,|Rn,α-Rα|≤ε,α∈(0,1],n=0,1,….

(37)

因此D(xn,x)<ε,n≥0.故正平衡点x是稳定的.另外，由定理2中的 (ii) ，则当n→∞时，公式(1)的每一个正解关于D收敛于x， 所以平衡点x是渐近稳定的.证毕.

2 数值例子

例考虑模糊差分方程

(38)

其中：A及初始值x-i(i=0,1,2,3)为正模糊数，即

(39)

(40)

(41)

由(39)，(40)，(41)式，得

(42)

(43)

所以

(44)

(45)

由(38)式，得含参数α的差分方程系统

(46)

图1 系统(46)的动力学行为 图2 α=0时，系统(46) 解的表现

图3 α=0.5时，系统(46) 解的表现 图4 α=1时，系统(46)解的表现

3 结束语