一类p规范型非线性系统自适应有限时间镇定

胡利耀，李小华

(辽宁科技大学 电子与信息工程学院,辽宁 鞍山 114051)

对于系统的稳定控制，不少文献研究了系统的李雅普诺夫渐近稳定控制，但只关注系统的最终状态是否趋于零，没有考虑实际系统对动态性能的要求.然而，在一些实时性要求较高的系统，如倒立摆、导弹跟踪及机械臂系统，需要更快的收敛速度及更好的暂态性能，此时渐近稳定控制将难以满足实际要求.有限时间控制[1]具有抗干扰能力强、动态响应快、暂态性能好的优点，能解决上述问题，因而引起了研究人员的关注[2-4].

自从Bhat[5]给出有限时间控制的李雅普诺夫稳定性定理后，关于有限时间控制的研究成果[6-16]相继产出.这些文献把有限时间稳定控制分为两大类，一类为实际有限时间稳定[6, 10-12]，它保证系统状态在有限时间内收敛到某一个特定的界内.文献[6，10]分别采用反步法、加幂积分技术设计了非线性系统的自适应实际有限时间控制器，保证了系统的所有状态均收敛于一个特定的界内.文献[11-12]分别将实际有限时间稳定理论应用于航天器、导弹姿态控制系统.然而，由于实际有限时间稳定只能保证系统的信号收敛于平衡点的一个邻域，故仍存在一定的控制误差.另一类为精确有限时间稳定[7-9,13]，它能够保证系统在有限时间内精确收敛于平衡点而不是平衡点的一个邻域.文献[14-15]针对Markov 跳变系统均给出了有限短时间稳定的概念，文中所说的有限短时间稳定实际上就是精确有限时间稳定，此类有限时间稳定控制具有更高的控制精度. 目前，对于精确有限时间稳定控制的设计方法主要有：加幂积分技术[16-17]、齐次域法[18]、动态增益控制法[19]及其他方法[20-21].

值得注意的是，一些文献对p规范型非线性系统进行了有关精确有限时间控制的研究[22-26]. 文献[22]研究了有未知函数项的p规范型非线性系统有限时间控制问题，但是其未知项须满足一个较为严格的假设条件，有一定局限性.文献[23]研究了非线性系统自适应有限时间控制问题，仅考虑了系统的幂p为奇整数形式的情况，不具有普遍性.文献[24-25]均考虑了p规范型非线性系统中p为奇整数之比形式的情况，但没有考虑实际系统中可能存在的不确定参数，实用性较差.文献[26]基于有限时间稳定性定理，研究了一类带有不确定参数的非线性系统的自适应有限时间控制问题，但所讨论的系统实际上是p规范型非线性系统中p为1的特殊情况，缺乏普遍性.目前，基于有限时间Lyapunov稳定性定理的、考虑不确定参数的、虚拟控制系数未知的且p为奇整数之比的p规范型非线性系统有限时间镇定的相关研究未见报道，因此，笔者利用有限时间Lyapunov稳定性定理，结合自适应技术和加幂积分技术，针对涵盖一类工程对象的p规范型系统[1]设计系统的自适应有限时间控制器.

1 问题的描述及预备知识

1.1 问题的描述

考虑如下形式的p规范型非线性系统

(1)

其中：xi(i=1,2,…,n)，u分别是系统的状态和控制输入，且[x1,x2,…,xn]T=x∈Rn，u∈R；幂指数pi为奇整数之比且大于等于1；di(·)，fi(·)为连续可导的未知函数，且fi(t,0,0,…,0,σ1)=0，σ1≥1为不确定参数.该系统满足如下假设.

假设1存在已知正常数ai,bi，使虚拟控制系数满足

ai≤di(·)≤bi.

(2)

假设2存在已知的1阶连续可导的非负函数φi(x1,x2,…,xi)，使未知函数

|fi(t,x1,x2,…,xi,σ1)|≤(|x1|+|x2|+…+|xi|)φi(·)σ1.

(3)

这里，将结合加幂积分技术和自适应技术对p规范型非线性系统设计一个自适应有限时间控制器，该控制器能够使系统(1)的各个状态在有限时间内收敛于平衡点，可通过系统参数来调节系统的停息时间，且对不同参数σ1，不用改变控制器，仍能使系统有限时间稳定.

1.2 预备知识

(4)

则该系统有限时间收敛. 如果平衡点x=0不仅是Lyapunov稳定，也是在原点的一个邻域D⊂U的有限时间收敛，则称x=0为局部有限时间稳定.若D=U=Rn，则x=0为全局有限时间稳定的平衡点.

定理1[17]对于定义1描述的自治系统.若存在一个定义在原点邻域U⊂Rn上的连续可导函数V(x)，它满足：(1)V(x)是正定的；(2)存在实数δ>0和

则该自治系统的原点为有限时间稳定.停息时间Tx(x0)依赖于系统的初始状态x(0)=x0，且满足如下不等式

(5)

若U=Rn且V(x)是径向无界的，则该系统的原点为全局有限时间稳定.

引理1[24]对于任意实数xi(i=1,2,…,n)与r，其中0

(|x1|+|x2|+…+|xn|)r≤|x1|r+|x2|r+…+|xn|r.

(6)

(7)

引理2[26]对于任意实数x,y及正实数s，t，且γ(x,y)>0是一个实值函数，有

(8)

(9)

2 自适应有限时间控制器的设计

第1步 选取Lyapunov函数

(10)

由假设2可知

(11)

(12)

(13)

综上所述，有

(14)

令

(15)

考虑假设1，选取虚拟控制量

(16)

其中：c为非负参数.令

(17)

(18)

将式(16)～(18)代入式(15)，整理可得

(19)

第2步 设

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由引理1可知

(27)

由式(19)，(21),(22)可知

(28)

讨论式(28)右侧的第1项. 由式(20)、假设1、引理1及引理2，可知

(29)

其中：L1为一个正常数.

(30)

|f2(t,x1,x2,σ1)|≤(|x1|+|x2|)φ2(·)σ1≤

(31)

(32)

(33)

其中

(34)

(35)

类似式(31)，有

(36)

结合假设1，有

(37)

其中：

为1阶连续可导的非负函数，

(38)

(39)

根据式(34)，(39)，可得

(40)

由引理2，可得

(41)

(42)

其中：λ21=λ22，且二者为适当常数.

(43)

其中：μ2,1(·)和μ2,2(·)为满足式(43)的1阶连续可导函数.

将式(29)， (32)及(43)代入式(28)并整理，得

(44)

令

(45)

(46)

则式(44)化简为

(47)

(48)

由式(26),(27)，易得

(49)

(50)

将式(50)代入式(47)，并整理得

(51)

结合假设1，设计虚拟控制为

(52)

将式(24),(52)代入式(51)，整理可得

(53)

联合第1，2步推导，有如下推论.

(54)

(55)

若取如下虚拟控制律

⋮ ⋮

(56)

(57)

证明当i=1，2时，第1，2步证明过程已给出，现假定第i-1步仍成立，即

(58)

(59)

接下来在第i-1步成立的基础上，推导第i步也成立.设

Vi=Vi-1+Wi，

(60)

(61)

易得

(62)

(63)

(64)

(65)

类似式(27)的证明，有

(66)

由Vi=Vi-1+Wi，易得

(67)

将式(59)，(63)代入式(67)，则式(67)转化为

(68)

(69)

其中：Li-1是一个正常数.

(70)

其中：l=2,3,…，i.

由假设2，可得

(71)

(72)

利用引理2及式(72)，易得

(73)

(74)

所以

(75)

(76)

由式(56)，(72)及假设1，有

(77)

(78)

当i=2时，由式(38)知式(78)成立.假定当k=1,2,…,i-2时均满足如下不等式

(79)

现利用式(79)证明式(78)成立.由式(56)，(79)，可知

(80)

接下来证明当k=i-1时仍然成立.由式(56)及引理1，可知

(81)

由式(79)～(81)可知，式(78)成立.

(82)

其中：

是1阶连续可导非负函数.

(83)

(84)

将式(69)，(75)，(84)代入式(68)，整理可得

(85)

令

(86)

(87)

将二者代入式(85)，整理得

(88)

(89)

(90)

(91)

将式(91)代入式(88)，得

(92)

令

(93)

将式(93)代入式(92)，由假设1，可得

(94)

至此，推论1证明完毕.

由推论1，当i=n时，取

(95)

有下式成立

(96)

故取

(97)

时，则有

(98)

至此，控制器设计完毕.

定理2对于系统(1)，若满足假设1～2， 则在控制律(16)，(52)，(93)，(95)及自适应律(97)作用下，闭环系统有限时间稳定，系统的各个状态在有限时间内收敛于原点.

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

由式(98)，可得

Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))≥Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))-Vn(ξ1(T1),ξ2(T1),…,ξn(T1))=

(104)

由式(103)及引理1，可得

(105)

由式(104),(105)，可得

(106)

(107)

(108)

因此，系统状态可在有限时间TB内收敛于原点. 有关TB的不等式如下

(109)

至此，定理2证明完毕. 由TA与TB可知，系统状态的收敛时间与参数c有关，则可通过调整参数c来调整系统的停息时间.

3 数值仿真

基于文献[24]中的p规范型非线性系统，笔者在其中增加一个不确定参数σ1，系统模型为

(110)

选取初始状态为：

根据定理2，由式(52)，(97)可得到有限时间控制律及自适应律.选择参数c分别为0.1，2.6，5.1，取不确定参数σ1=1.1.图1～3分别给出了σ1=1.1时系统的状态x1，x2与自适应估计值的仿真曲线.

图1 σ1=1.1时的系统状态x1 图2 σ1=1.1时的系统状态x2 图3 σ1=1.1时的系统自适应估计值

为了验证控制器对不确定参数的适应性，在不改变自适应有限时间控制律及自适应律条件下，选取σ1=1.3，仿真结果如图4～6所示.

图4 σ1=1.3时的系统状态x1 图5 σ1=1.3时的系统状态x2 图6 σ1=1.3时的系统自适应估计值

从图4～6可以看出，不确定参数σ1取其他不同值时系统的状态也稳定，表明该文控制器对不确定参数具有适应性.改变参数c，收敛速度明显改变. 参数c增大，系统状态的收敛时间缩短，表明该方法的停息时间具有可调性.

图7 初始状态改变后的状态x1 图8 初始状态改变后的状态x2 图9 初始状态改变后的自适应估计值

从图7～9可以看出, 该文设计的控制器初始状态改变后也有较好的控制性能，故控制器对不同初始状态有很好的适应性.

从文献[24]的系统仿真图中，容易看出在系统不存在未知参数的情况下，其系统状态x1，x2分别在1，2 s趋于稳定.然而，从图1，2可知，当c=5.1时，该文设计的控制器在系统存在未知参数的情况下，系统状态x1，x2分别在0.7，1 s趋于稳定. 因此，该文方案可以得到更快收敛速度，且对系统中的不确定参数有适应性.特别地，该方案的停息时间是可调的，而文献[24]的不可调.综上所述， 相比文献[24]，该文方案更具应用价值.

4 结束语

笔者研究了一类幂p为奇整数之比、带有不确定参数且系统虚拟控制系数未知的p规范型非线性系统的自适应有限时间控制问题. 采用加幂积分技术和自适应技术，设计了一个自适应有限时间控制器，使该系统在参数未知的情况下能保证各个状态在有限时间内收敛于原点，实用性更强. 但是，设计过程较繁琐，对系统函数所做的假设条件使控制器的保守性较强，对未知参数的估计误差只做到了有界，这些对系统的控制会产生不利的影响.因此，简化设计过程、降低估计参数的误差以及降低设计的保守性是此类控制问题下一步的研究方向.