对一个不等式问题的探究性学习

胡丹　杨小兵

摘要：本文从发现问题、解决问题、合理外推、问题变式四个步骤对一个不等式问题开展探究性学习，得到了试题的十种解法、四个推广、四个推论和编创了三道变式试题.

关键词：探究性学习;不等式;试题推广;试题变式

探究性学习（也称研究性学习）是指：以学生的自主性和探究性学习为基础，在教师的指导下，从学科领域内或现实生活中选择和确定研究专题，以个人或小组合作的方式，通过学生主动实践、主动探索、主动思考的研究过程，从而培养学生综合运用知识解决实际问题的能力，提高学生综合素质的一种教学模式[1].《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《标准》）其中对探究性学习作出了明确规定，《标准》将必修课程分为四个板块，分别是函数、代数与几何、概率与统计、数学建模活动和数学探究活动[2].探究性学习是一种学生学习方式产生根本改变的教学模式，学生从听教师讲授学科概念、规律开始学习的方式，转变为学生通过各种事实来发现概念和规律的方式;也是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养的良好方式.意大利物理学家、数学家伽利略提出探究问题的过程为：提出问题、猜想与假设、数学推理、实验验证、合理外推、得出结论，基于此，研究者认为开展探究性学习应遵循四个步骤：发现问题、解决问题、合理外推、问题变式.文中以一道不等式问题为载体展开探究性学习.

1 发现问题——探究的起点

问题是数学的心脏，更是数学学习、数学教学与数学研究的心脏.法国著名雕塑家罗丹说过：生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛，数学也一样，数学中从不缺少问题，而是缺少发现问题的眼睛.发现问题是探究的起点，选择一个好的问题往往会事半功倍，那什么样的问题才能被称为好的数学问题呢？美国数学问题解决专家匈菲尔德给出五个原则：容易接受、有多种解题方法、蕴涵了重要的数学思想、不故意设陷阱、可进一步开展和一般化.因此，可从教材、中高考、竞赛、调研、自招等试题中去发现问题，这些试题经过数学专家精心设计往往背景丰富、立意鲜明、解法多样、便于推广等.

评注 该题内涵丰富、有深度、有广度、有难度、可推广、可一般化、形式优美具有一定对称性，且与2013年全国Ⅱ卷理科24题第（2）问有异曲同工之妙，因此是一个值得探究的好问题.

2 解决问题——探究的重点

《辞海》对“探究”的解释为：“探”有寻求、推究、打听之意，“究”有追问、推求、穷尽的意思，探究即寻求方法解决问题.解决问题是探究的重点，在教师的指导下，引导学生多角度开展思路分析与探索，鼓励学生开展一题多思、一题多探、一题多解、一题多变等角度开展探究活动，从而培养学生的发散思维和创新精神.

评注 权方和不等式为均值不等式的推广，文献[3]对其进行了详细的说明.二元均值不等式、三元均值不等式、柯西不等式、构造向量、隐函数法、条件极值、主元策略、排序不等式、琴生不等式等都是解决不等式问题的常用手法.

3 合理外推——探究的亮点

推广是探究的难点.推广是发现问题的基本途径，是提出猜想的基本方式，是迁移数学知识的基本手段，是创造数学知识的基本策略[4].张景中院士曾说过：创新并不是空穴来风，而是在已有的基础上推陈出新，推广是研究数学的重要手段之一，数学的发展总是在已有的基础上向未知的领域的进行，从实际的概念和问题推广出新的概念和问题[5].推广的方式有很多，最常见的为：类比推广（特殊到特殊）和归纳推广（特殊到一般），下文將以归纳推广为主对上述不等式进行推广.

4 问题变式——探究的难点

问题的变式是探究的难点.数学的学习在于抓住知识的本质和思想方法，变式不能乱变需要根据学生已有的知识水平，改变问题的形式、题目的条件、求证的结论、思维的角度等来揭露问题的本质特征，而不受非本质特征的影响，做到“变中求不变，求变以突出其中不变”.[6]

参考文献：

[1]刘伟忠.研究性教学中的难点与实施重点[J].中国高等教育，2006（24）：36 -37 +42.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3]赵思林.初等代数研究[M].北京：科学出版社，2017.

[4]李秀萍，赵思林，徐小琴.一个不等式的推广与证明[Jl.上海中学数学，2016（10）：21+24.

[5]朱华伟，张景中.论推广[J].数学通报，2005（ 04）：55- 57 +28.

[6]江志杰，基于数学解题变式的高三教学主张[J].中学数学教学，2013 （01）：54 -58.

（收稿日期：2019 - 02 - 06）