基于实测几何缺陷的圆柱壳外压承载能力分析

王伟，朱时洋，和卫平

1海军驻葫芦岛地区军事代表室，辽宁葫芦岛125004

2武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉430205

0 引 言

在工程结构中，圆柱壳得到广泛应用，但其对缺陷具有明显的敏感性，使屈曲载荷存在很大的折减和较大范围的离散分布。在工程实际中，圆柱壳结构在生产制作、运输等过程中不可避免地会产生初始几何缺陷［1］，且初始几何缺陷对圆柱壳结构的承载能力有较大的影响，所以基于实测几何缺陷分析圆柱壳的承载能力非常有必要。

国外很早就开展了针对此问题的相关研究。Southwell［2］通过对理论与实验结果的对比，观察到实测的屈曲载荷总是比对应模型的理论值小很多的物理规律。Von Karman 和 Tsien［3］通过求解圆柱壳的非线性大挠度方程，提出了更加普适的圆柱壳后屈曲求解方法。Koiter［4］首次提出了采用摄动理论研究分析线弹性结构初始后屈曲路径的方法。Donnell和 Wan［5］将圆柱壳几何缺陷引入到了后屈曲分析中，计算获得的临界屈曲载荷比完美/完善壳体的结果要低很多。在国内，有学者针对薄壁圆柱壳结构的屈曲问题，开展了大挠度方程求解方法［6］和薄壁圆柱壳弹塑性屈曲［7-8］的理论研究。上述研究表明，在壳体存在初始缺陷的情况下，圆柱壳的极限承载能力与实验结果差异明显，且实验结果具有较大的随机离散性。壳体的初始缺陷包括初始几何缺陷、壳体厚度缺陷、加载载荷缺陷等，但是由于真实缺陷的种类有很多，已经超出了经典几何缺陷的范畴，而非经典几何缺陷则导致影响结构临界屈曲载荷的因素更复杂多变，极大增加了壳体结构设计的难度。其他常见的缺陷还包括线性屈曲模态型缺陷（LBMI）、轴对称缺陷（ASI）和实测缺陷（MI）。其中，线性屈曲模态型缺陷被广泛应用于土木工程领域，用于对考虑了风载荷作用的油罐、轴压作用的冷却塔以及运载火箭等薄壁壳体结构进行屈曲分析。此外，线性屈曲模态型缺陷还被应用于减缩刚度分析。线性屈曲模态型缺陷被广泛应用的原因之一在于借助通用的有限元软件对结构进行线性屈曲分析，可以很方便地获取该形式的缺陷。轴对称缺陷现在更多地被用于开展缺陷敏感性对比分析。实测缺陷主要是通过接触或者非接触测量方法获取壳体结构的表面形貌点云数据，并将该缺陷引入到有限元分析中。在实测缺陷研究领域，Arbocz和 Abramovich［9］做出了卓越贡献，建立了初始缺陷数据库。

国内对于在严酷运行环境下水下环肋圆柱壳结构的非线性屈曲理论研究和极限承载能力分析方面起步较晚，不仅分析手段单一，精度也不足，且试验数据相对匮乏，在计及实测初始几何缺陷的结构承载能力分析方面尤其如此。因此，为了测量某圆柱壳体的初始几何缺陷，本文拟首先基于二次型变换方法提取壳体的初始几何缺陷，然后利用双重傅里叶级数方法重构有限元模型，分析初始几何缺陷对圆柱壳外压承载能力的影响，最后对比分析2种有限元模型重构方法在计算精度和效率方面存在的差异。

1 几何缺陷的测量与表达

本文使用三维形貌测量系统获取了试件表面的三维形貌结果，图1所示为其点云形式。但是，在实际使用这些点云数据的过程中，点云数据所在的测量坐标系与试件仿真建模的坐标系并不一致，因此，还需要经过坐标变换处理以获取期望的空间位置，如图2所示。

图1 三维形貌测量系统输出的三维形貌数据Fig.1 3D topography data acquired from 3D measurement system

图2 三维形貌数据的期望空间位置Fig.2 Expected spatial position of 3D topography data

虽然基于三维形貌测量系统可以获取圆柱壳表面的整体形貌点云信息，但却无法直接获取圆柱壳半径、轴线方向等特征参数。因此，本文采用最小二乘法先将三维形貌测量系统输出的圆柱壳表面整体形貌点云信息进行拟合，得到二次型曲面的一般方程，然后通过正交变换，将点云所在的测量坐标系转换到有限元建模采用的标准参考坐标系中。此外，通过对二次型系数的分析，还可以直接获取圆柱壳直径的拟合值。

图3所示为本文采用的坐标系。其中，O-XYZ为测量坐标系，O′-X′Y′Z′为标准坐标系（建模坐标系），O′-rθy（r，θ，y分别表示径向、周向和轴坐标）为标准圆柱壳坐标系。图中，A为自定义的标定点，本文取圆柱壳外表面第1象限与下端面的交点。

图3 本文采用的坐标系定义Fig.3 Definition of the coordinate systems in this paper

在测量坐标系中，圆柱壳可以采用一般形式的三元二次曲面方程描述，即

其矩阵形式写为

其中，

式中:A为二次型方程特征系数的对称矩阵；X为自变量矩阵；b为一次项系数向量；a11～a33为系数；a44为常数项。

通过坐标值的交叉计算，可以将求解式（1）所示三元二次曲面方程转化为多元线性拟合的问题。在拟合过程中，使用最小二乘法求解得到二次型方程的系数矩阵。由于A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵R0。

式中，Λ为对角矩阵。

进一步，式（2）可以变换为标准坐标系下的式（4）

其中，

式中，c为一次项系数向量。

通过正交变换［10］，将二次曲面的一般方程转换为标准方程。该变换消除了坐标分量间的交叉项，通过校正附加的特征点，将测量坐标系与标准坐标系的方向对齐，同时保持曲面形状不变。

将标准坐标系中的点云转换到标准圆柱壳坐标系下，计算形貌点云中各散点与拟合曲面间的距离（离面位移w），如图4所示。该离面位移场w(x，y)包含了壳体的初始几何缺陷信息，也是后续研究的数据基础。图中：θ为周向角度；为归一化的无量纲离面位移（(x，y)=w(x，y)/t；t为圆柱壳壁厚）；L为圆柱壳名义长度。

图4 圆柱壳坐标系下初始几何缺陷的散点图Fig.4 Scattered points diagram of initial geometric defects in cylinder coordinate system

圆柱壳结构的真实缺陷对结构承载能力有着极大的影响，是多年来研究的热点和难点问题。国内外学者通常将圆柱壳的真实缺陷（离面位移场w(x，y)）展开为半波余弦或半波正弦的双重傅里叶级数。

在标准圆柱壳坐标系下，半波余弦和半波正弦的双重傅里叶级数分别表示为：

式中：R为圆柱壳的名义半径；Akl，Bkl为半波余弦傅里叶级数的系数；Ckl，Dkl为半波正弦傅里叶级数的系数；k，l分别表示轴向半波数和周向全波数；n1，n2为双重傅里叶级数项数。

2 圆柱壳轴压承载能力分析

为了获取圆柱壳的实际屈曲载荷大小，需要将实测几何缺陷引入到有限元模型中，以便将完美模型重构为含实测几何缺陷的有限元模型。有限元模型重构方法包括了基于散点的有限元模型修正方法和基于傅里叶级数函数的有限元模型重构方法。后者在本文中称为傅里叶级数法，即以傅里叶级数的形式引入实测缺陷。具体讲，就是将实测几何缺陷采用傅里叶级数形式表达后，再将该傅里叶级数引入到有限元模型中修改节点坐标，从而引入实测几何缺陷。

首先，本文将如图4所示的圆柱壳坐标系下的点云信息通过逆距离加权插值法进行插值，获得了如图5所示的格栅化离面位移图，从而将离面位移场表示为二维矩阵的形式。

图5 圆柱壳格栅化的离面位移图Fig.5 Off-plane displacement diagram in grille form of cylindrical shell

然后，将该二维矩阵形式进行周期延拓，使用高斯滤波器对该二维矩阵进行滤波处理，以降低测量噪声的干扰，得到如图6所示高斯降噪后的离面位移结果。图中，黑点为原始的散点数据。由图6可见，经过格栅化及降噪处理后的离面位移场很好地反映了原始散点所表示的实测形貌。

图6 圆柱壳高斯降噪后的离面位移图Fig.6 Off-plane displacement diagram of cylindrical shell after Gaussian noise reduction

最后，将求得的半波余弦傅里叶级数的系数Akl，Bkl以文件形式保存，编写Python脚本读取该系数，并在ABAQUS有限元模型中使用该系数表示的傅里叶级数引入实测缺陷，实现含实测缺陷的有限元模型重构。图7所示为重构形成的有限元模型，考虑到显示效果，实测缺陷的幅值被放大了30倍。

图7 含实测缺陷的有限元圆柱壳重构模型Fig.7 FE model of reconfigured cylindrical shell with measured defects

2.1 完美模型的承载能力数值分析

本文所示完美模型是指不含实测缺陷且经过完善的圆柱壳模型。该完美圆柱壳模型的名义半径R是通过对实际结构的实测形貌经过特征提取处理获得的拟合半径。图8所示为模型的边界条件及载荷。

图8中模型底端为固支，即约束模型底端框上节点的3个线位移、3个转角自由度。上端仅放松轴向位移自由度，约束其他5个自由度。模型外表面施加均布压力载荷，端面施加相当的轴向载荷，并考虑结构的非线性变形。通过网格收敛性分析，合理设置网格尺寸。材料属性采用双线性弹塑性模型。

图8 有限元圆柱壳模型边界条件Fig.8 Boundary conditions of cylindrical shell FE model

计算结果显示，该完美圆柱壳有限元模型的极限承载能力Pperfect=0.835 7（基于理论极限承载能力归一化的无量纲压力载荷，下同），其位移—载荷曲线如图9所示。由图9可见，OA线段为圆柱壳的线性前屈曲阶段，其承载能力随着位移载荷的增加而呈线性增大，在A点（临界失稳状态）处达到最大值后发生局部壳板失稳；随着施加位移载荷的继续增加，承载能力逐渐下降并在B点（压溃后某一大变形状态）逐渐稳定。

2.2 模态型缺陷的近似分析

图9 完美圆柱壳有限元模型的位移—载荷曲线Fig.9 Displacement-loading curve of perfect cylindrical shell FE model

由于模态或形如模态的初始几何缺陷对结构的轴压临界屈曲载荷有着巨大影响，因此模态型缺陷近似方法也是圆柱壳结构承载能力预测分析时所采用的重要方法之一。该方法主要针对初始缺陷形式并不十分清楚的结构，并通常使用结构的一阶模态来模拟结构的初始几何缺陷。由于该方法的计算结果不一定与实验数据吻合得很好，故一般用于计算结构的下限承载能力。

这里，使用2.1节的圆柱壳有限元模型对模型施加归一化位移载荷，并建立线性屈曲分析步。为了引入屈曲模态缺陷，修改线性屈曲分析的INP文件，以增加节点位移向量的输出。完成线性屈曲分析后，新建Riks分析步，并在对应的INP文件中增加引入线性屈曲分析结果的命令，然后开始极限承载能力的计算。相关流程及命令如下：

1）进行线性屈曲分析前，在INP文件中添加以下命令。计算完成后，工作目录下会生成一个扩展名为fil的文件，该文件将会在下一步被用到。

2）使用以下命令引入上一步的模态型缺陷文件：

其中，FileName为上一步fil文件的文件名（不含扩展名）。StepNumber必须与上一步模型中的相同。ScalingFactor一般为1。

3）施加轴外压载荷，并进行计算分析。

分别引入如图10所示的一阶局部模态型缺陷和一阶总体模态型缺陷，缺陷幅值分别为0.2t和0.002 5R，得到如图11所示圆柱壳位移—载荷曲线。

图10 圆柱壳的一阶模态型缺陷Fig.10 The first-order mode defects of cylindrical shell

图11 考虑模态型缺陷时圆柱壳有限元模型的位移—载荷曲线Fig.11 Displacement-loading curves of cylindrical shell FE model considering mode defects

由图11可见，OA段处于线性前屈曲阶段，圆柱壳的承载能力与位移载荷基本呈线性关系；随着位移载荷的增加，圆柱壳进入非线性后屈曲阶段（AB段），此阶段圆柱壳的承载能力与位移载荷也基本呈线性关系，不过结构的静力学刚度明显下降；随着广义位移的增加，圆柱壳的最大承载能力 Plocal，Pglobal分别降为0.812 5和0.685 3，随后壳板发生失稳，且这2种模态型缺陷导致的壳板变形存在一定的差异。

2.3 实测缺陷近似分析

由于实测缺陷真实地反映了圆柱壳结构本身的初始几何缺陷，所以基于结构的实测缺陷开展极限承载能力分析能够非常精确地预测其极限承载能力。本文使用的方法为实测缺陷近似方法（Measured Imperfection Approach，MIA）。

这里，同样使用与2.1节相同的有限元模型。采用面向大型圆柱壳结构的形貌测量方法，对圆柱壳进行了形貌测量、分析及表达，并通过基于散点或傅里叶级数函数的有限元模型修正方法引入实测缺陷，获得了前文图7所示的含实测缺陷的圆柱壳有限元模型。

使用散点法和傅里叶级数法分别实现圆柱壳有限元模型极限承载能力分析后的结果显示，在考虑实测缺陷后，得到如图12所示采用2种方法得出的圆柱壳极限承载能力（PPoint和PFourier）分别为0.824 2和0.823 8。由图12可见，散点法和傅里叶级数法计算的结果几乎完全吻合。在OA段，圆柱壳处于线性前屈曲阶段，其承载能力随着位移载荷的增加呈线性增加；当最大承载能力达到0.824 2后结构发生局部失稳；在非线性后屈曲阶段（AB段），结构逐渐从局部失稳转化为肋间壳板环向失稳，承载能力降低至0.4左右。

图12 考虑实测缺陷时圆柱壳有限元模型的位移—载荷曲线Fig.12 Displacement-loading curve of cylindrical shell FE model considering measured defects

2.4 两种重构方法的对比

使用散点法和傅里叶级数法这两种有限元模型重构方法引入相同的实测缺陷，对圆柱壳有限元模型进行重构后进行极限承载分析，得到两种重构方法的性能对比如图13所示。图中，实线表示通过两种方法确定的不同网格尺寸下的圆柱壳屈曲载荷（归一化无量纲结果），虚线表示两种方法导入缺陷过程的耗时。由图13可见，两种方法确定的不同网格尺寸下的圆柱壳屈曲载荷几乎没有差别，使用散点法引入缺陷的过程耗时远远大于傅里叶级数法。随着网格数的增加，引入缺陷过程的耗时呈指数增加，两者的差异更明显。其中，傅里叶级数法耗时最高为散点法的48%，平均耗时为散点法的32%。可见，采用傅里叶级数法的总体计算效率比散点法的效率高。

图13 网格收敛曲线和两种方法的计算耗时对比Fig.13 Mesh convergence rate curves and time cost by two methods

3 结 论

本文针对含初始几何缺陷的圆柱壳外压承载能力进行了数值分析，得到如下主要结论：

1）基于二次型的正交变换及傅里叶级数的初始几何缺陷表达方法，可以解决测量坐标系到建模坐标系不统一的问题，形成基于实测几何缺陷的有限元模型重构方法。

2）傅里叶级数法的计算效率明显高于散点法，在缺陷引入过程最少可节省52%的时长，且随着计算规模的增加，效率优势会更加明显。

3）基于模态型缺陷的圆柱壳极限承载能力与基于实测缺陷的圆柱壳极限承载能力相比更加保守，可以作为极限承载能力的下限值。但是，实测缺陷为多种模态型缺陷的组合，基于实测缺陷的圆柱壳极限承载能力更接近实际值，能够为圆柱壳结构极限承载能力的精确分析及结构优化设计提供指导。

4）与总体模态型缺陷相比，圆柱壳极限承载力对局部模态型缺陷更加敏感，在加工建造过程中，需严格控制由焊接变形、加工制造等导致的肋间壳板形位偏差，保证圆柱壳的承载能力。