基于线缺陷声子晶体的声波导设计

钟兰花，陈静元，刘家盈，凌彩宁，符栩铭，蔡马赵，黄 贞

(岭南师范学院 物理科学与技术学院，广东 湛江 524048)

声子晶体是20世纪90年代提出的新型声学功能材料，一般由1种或几种弹性材料(散射体)周期排列在另一种材料(基体)中所构成，至今仍是声学中的研究热点之一[1-3]. 声子晶体与传统晶体和光子晶体类似，当声波(或弹性波)在其中传播时，产生弹性波的分立能带、禁带和带隙[4-5]. 禁带是指声波在声子晶体中传播时，由于受周期结构的调制作用，在一定频率范围(带隙)内被禁止传播. 而在具有周期结构的声子晶体中引入缺陷，如改变某些散射体的大小、形状、材料等，则可能在原来无缺陷晶体的带隙中出现声子能带，称之为缺陷能带，相应的状态称为缺陷态. 正如电子在含缺陷的天然晶体中传播出现Anderson局域现象一样，缺陷态声波的分布也具有局域性，即声波被限制在缺陷附近传播[4-6]. 声子晶体缺陷态的局域性有实用价值，如可用于声波滤波器和声波波导[6]. 如果声子晶体中的缺陷分布在1条线上，则称为线缺陷声子晶体，此时可能存在声波只沿线缺陷传播的缺陷能带，缺陷模的能量被局域在线缺陷中传播，因而构成声波导[7-9].

本文采用同种规格的花岗岩柱体按周期排列在空气中构成二维声子晶体，通过移除1排柱体产生线缺陷. 先通过数值模拟来确定最佳的实验参量以及缺陷带的大致频率范围，然后测量通过声子晶体的声波，结果表明在缺陷带的频率范围内具有明显的声波导效果.

1 模型理论

对于无限多平行无限长固体柱子放入气体中所组成的二维周期结构，由于固体与空气两者的声学阻抗差异大，在交界处可发生全反射，因而可以只考虑纵波. 根据波在周期介质中传播的Bloch定理以及平面波展开法，声波波动方程可在波矢空间表示为本征值方程的形式[4-5,10]

(1)

图1所示为一线缺陷声子晶体横截面示意图，由方形散射体按正方晶格排列(晶格常量为a)构成，移除中间1列柱体即形成了线缺陷. 该模型可采用5×5超元胞平面波展开法进行数值求解，求解时将波矢k限制在第一Brillouin区(如图2所示)，对无限多个倒格矢求和. 在计算中取了625个倒格矢代替，比较了取7×7的超元胞和一千多个倒格矢的计算结果，发现此时已具有较好的收敛性，前20条能带的相对误差均小于3%. 此时，(1)式变为含有625×625个矩阵元的标准本征值方程，解此方程可求出本征值频率及其对应的本征向量. 令波矢k扫描第一Brillouin区中不可约三角形的边界，即可得出本征频率ωkn,其中n为不同能带的标志. 从而可作出一系列以无量化纲频率

(2)

为纵坐标，以波矢k为横坐标的能带图，其中cl为基体材料中的纵波波速.

图1 二维线缺陷声子晶体5×5超元胞横截面示意图

图2 第一Brillouin区图

图3 填充比F=0.4时,花岗岩方柱体按正方晶格排列于空气中的能带结构图

(a)无缺陷声子晶体

(b)线缺陷声子晶体图4 声子晶体沿ΓX方向的能带结构图

图5 缺陷能带的声压强分布图

2 实验装置

声子晶体的左侧放置发射声波的声源，右侧放置声波接收装置. 声源部分主要包括信号发生器(RIGOL，型号：DG4062)、功放(多媒体有源音箱，型号：GS-6000)、高频喇叭(SIREN HORN，型号：ES-626)，接收装置主要包括间隔1 cm均匀排列的8个微型麦克风(咪头)及其放大器模块(Risym，型号：MAX9812)、USB数据采集器(研华USB-4716)、PC机. 喇叭离声子晶体约0.6 m，入射声波可近似看作平面波，1排微型麦克风尽量靠近声子晶体.

图6 实验装置截面示意图

图7 实验装置实物图

3 测量结果

为了测量线缺陷声子晶体的声波导效果，取2个对照组进行对比：空气组(移走声子晶体使声波在空气中传播)和非缺陷组(方柱体按9×9完整排列). 当声波频率取为6 440 Hz和7 300 Hz时，8个微型麦克风(分别用M1～M8表示)的声压分布分别如图8(a)和(b)所示，分别重复3次测量.

图8中最明显的区别是红色线表示的缺陷组在图8(a)中M4和M5麦克风(对着线缺陷位置)的压强特别大，甚至大于空气组的声压. 这说明6 440 Hz频率的声波属于缺陷带频率范围，该声子晶体对该频率的声波起声波导作用，即声波在其中传播几乎无衰减. 而在图8中空气组(绿色线)的声压基本为均匀分布(由于麦克风的准确度有限而带来实验误差)，非缺陷组(蓝色线)在两图中的声压也都比较弱，说明上述2个频率在无缺陷声子晶体中都属于禁带范围，声波不能通过(但测量结果包含环境本底噪声). 图8(b)中的缺陷组和非缺陷组的声压同样低，说明7 300 Hz在线缺陷的声子晶体中也属于禁带范围.

(a)缺陷频率

(b)禁带频率图8 声波频率为6 440 Hz和7 300 Hz时8个麦克风的声压分布

为了找出缺陷带的频率范围，即该线缺陷声子晶体能起波导作用的频率范围，改变输入声波的频率，从6 000～7 500 Hz每隔10 Hz测量1次. 由图8可知，主要是中间M4和M5麦克风采集缺陷处出射的声压，所以给出了3种情况下这2个麦克风的的声压分布，如图9所示，每种情况都重复测量了2次. 在图9虚线框中部分，缺陷组的声压和空气组的声压接近，而在其他频率范围缺陷组的声压明显小于空气组. 可以判断，虚线框中频率范围(6 400～7 100 Hz)，为缺陷带的频率范围，而非缺陷组的声压在此范围内都低，因为处在非缺陷声子晶体的禁带范围.

(a)M4麦克风

(b)M5麦克风图9 入射声波频率为6 000～7 500 Hz时M4和M5麦克风的声压分布

可以看出，测得缺陷带频率范围与仿真结果相比有一定的差距，主要是因为数值计算的平面波展开法假设声子晶体柱体无限长、横截面无限大、入射声波为平面波的情况，而这些条件在实验中只是近似地满足.

测量结果有较大的波动、线不够平直主要有两方面的原因：

1)微型麦克风的灵敏度、精确度和准确度不够高；

2)测量过程中环境噪声的波动干扰了测量结果.

另外，图9中右边缘的曲线数值明显都偏高，主要是因为测量声波的频率接近麦克风的特征频率，出现了共振现象.

4 结束语

根据声子晶体中缺陷态能量的分布主要局限在缺陷处这一特征以及数值模拟的结果，设计了由花岗岩柱体按周期排列在空气中形成的二维线缺陷声子晶体. 对比了不含缺陷的声子晶体、线缺陷声子晶体和声波直接在空气中传播3种情况，发现线缺陷声子晶体对缺陷态声波明显具有声波导的效果. 设计的模型中花岗岩和空气也可换为其他2种密度差异较大的固体和流体，而其声波导效果和缺陷带频率范围几乎不受影响. 此模型不仅适用于可闻声波，如果按比例缩小尺寸还适用于更短波长的声波，如超声波.