渗透度量意识，感受整体联系

沈水仙 邵汉民

摘 要：“图形的测量”是“空间与图形”中重要的教学内容，它主要包括长度、面积、体积的度量概念生成和图形周长、面积、体积的计算公式推导两大部分，但学生对这部分知识的掌握始终不够扎实。我们有必要在教学中引导学生进一步把握度量的的本质，积累必要的活动经验，并在教学实践中加强概念之间的辨析，渗透估测意识，从而培养学生的空间观念，以提高学生解决问题的能力。

关键词：目标定位; 估测意识 ;图形的测量

“图形的测量”在“空间与图形”中是一块“难啃”的教学内容，学生一到知识的整合阶段，就开始出现各种问题，更多的学生是运用知识解决生活问题的能力不强，简单的对比都会，可在具体的应用知识解决实际问题的过程中，对周长、面积或表面积、体积等经常出现概念上的混淆，而对于度量的本质缺少过程性的感悟。针对以上种种困惑，笔者对“图形的测量”这块内容展开了实践与思考。

一、梳理教材体系，理清知识脉络

图形的测量从纵向看，是以转化的形式把新的图形知识顺应于原有的知识结构，而从横向看，又可以以类比的形式把一个个“点”状的新知建构成一个完整的认知结构，在后续学习中要引导学生通过分类、比较、辨析，认识图形的联系与区别，形成比较清晰的知识脉络。

（一）了解教材的编排结构，把握循序渐进

为了便于研究“图形的测量”的编排结构，笔者把整套人教版教材中有关“图形的测量”教学内容做了如下的整理。

第一学段：二上长度单位米、厘米;二下克和千克，三上毫米、分米、千米、吨，周长与长方形正方形的周长计算;三下年级面积、单位单位（平方厘米、平方分米及平方米）及长方形、正方形的面积。

第二学段：四上公顷、平方千米，角的度量;五上多边形的面积;五下体积与体积单位、容积与容积单位及长方体与正方体的表面积、体积;六上圆的周长与面积;六下圆柱的表面积、体积，圆锥的体积。

透过对教材结构的简要分析，有两点启示：一是要深入研究新增加内容在每册教材中的目标定位，不能人为降低或拔高教学难度，这样才能使教师的课堂教学行为具有一定的针对性和有效性;二是要投入相对多的时间在中段“图形的测量”教学研究上，特别是在课堂教学中怎样通过体验、操作、观察、分析做好半具体到半抽象、半抽象到抽象的之间过渡和转换。

（二）明确教学的目标定位，做到有的放失

掌握几何图形的特征、周长、面积、体积的计算法则，进而运用它们解决问题。“图形的测量”这个领域的目标定位具体要求如下。

（1）能由实物的形状想象出具体的几何图形，由几何图形想象实物形状，进行几何体、三视图、展开图之间的转化。

（2）能根据条件做出立体模型或画出图形。

（3）能从较复杂的图形中分解出基本图形，能分析其中的基本元素及关系。

（4）能利用“图形的测量”的相关知识来解决生活实际问题。

（5）能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

二、把握度量本质，积累活动经验

“空间与图形”领域中的度量单位主要包括常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位等。在认识度量单位的过程中，我们除了要对学生渗透度量意识，使学生体会建立统一度量单位的重要性之外，也要使学生理解和把握度量的实际意义，并且会在具体的问题情境中恰当地选择度量单位进行测量。

（一）重视核心概念，形成测量技能

度量就是将一个待测量和一个标准量进行比较，“标准”的个数就是度量的结果。学生在学习长度的最初阶段如果能意识到这一点，建立一个长度单位的概念，必将对后续的学习起着不可估量的作用。

以“长度单位的认识”為例，学生先学习厘米与米，然后是毫米和分米，最后学习千米，每个内容是相通的。如认识毫米的时候，重点研究怎样把“大单位”1厘米平均分成若干份，其中的1份作为新的长度单位，这是毫米这个单位的构建过程，也是度量活动经验的积累。而1毫米到底是多长这是对一个长度单位的感知，度量时有时会产生更长的线段就是几个1毫米的累加，这才是度量的本质。同样，对于毫米能不能再分，是不是平均分成10份，产生的更小的长度单位叫什么，都为学生进一步认识“量”积累了一定的活动经验。

让学生在整体上建立这样一种意识，这样的经验始终是贯穿“图形的测量”的，因为数单位的个数是度量活动中的基础，有利于学生把握度量的核心要素。如有了长度单位的基准，就能进一步加深对面积单位、体积单位的理解。

（二）理解实际意义，选好参照对比

《数学课程标准》（2011年版）要求学生“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。单位的选择与换算都是建立在学生对单位感知的基础之上的，厘米、分米、米等长度单位都可以提供可视性材料，参照物比较明确，但不是任何一个单位的构建都可以“看得见、模得着”的，如千米则需要借助单位“米”进行间接推算，学生缺少经验的积累，在以下练习中经常出错：

燕子每小时飞行20（        ）;飞机跑道长3000（        ）;长江长约6300（        ）;自行车每小时行15（        ）。

这样的参照更具实际意义，达到了动态教学的效果。同时还要引导学生关注生活周围的参照物，如家到学校的距离、生活中汽车行驶的时间等，这些都是生活经验的积累，不可忽视。

三、深化体验概念，加强概念辨析

“图形的测量”教学中，部分学生对长度、面积和体积这三个概念始终辨析不清。教师要在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，帮助学生形成既清晰又丰富的认识，从而使学生建构起正确的三维空间观念。

（一）关注知识的辨析比较，整体感知区别

长度、面积、体积在概念内涵的语言表述方面是有差异的，“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度;“面积”是二维的概念，表示物体表面或封闭图形的大小;“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助物体或工具等。在此基础上，形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间度量单位体系。

三者可以从概念涵义、常用单位、度量工具等方面来认识与区别。在学生最早开始接触“周长”与“面积”的概念时，不要过早地引入“周长”与“面积”的计算公式，而应让学生对周长和面积有了一定认识以后再寻找公式。课堂上尽量让学生多去接触周长与面积的概念，帮助学生有效完成思维水平循序渐进由低到高的过渡以及良好空间观念的形成。

（二）关注计算比较，加深概念理解

除了概念对比分析，还要结合具体的情境来辨析与比较。例如周长与面积的区分（图1）：左边的两个图形是面积相等，周长不等，右边的图形是周长相等，面积不等。可以让学生描一描图形周长，摸一摸封闭图形面的大小，具体感知一下什么是周长与面积。

体积与表面积的区分，体积比较容易，先计算一个小正方体的体积，再数一数有几个小正方体就乘几;而表面积则要计算露在表面的一共有几个面积单位，先数出正面、右面、上面看到的小正方形的个数，然后乘2就可以知道有几个面积单位了，图2中学生用不同的符号进行标注就是一种很好的学习方法，值得推广。显然，这样的练习能帮助学生区别表面积与体积的概念，提高运用知识解决问题的灵活性，也有利于发展学生的空间观念。

四、沟通图形联系，形成整体设计

图形之间的联系不只局限于公式的推导及概念的生成，我们更应在单元复习与练习中渗透这样的联系，这有利于学生运用多种策略和方法解决实际问题。

（一）渗透动态思想，形成知识网络

多边形的面积计算虽成独立单元，但系统性不强，不容易揭示不同图形之间的内在联系。因为在多边形面积复习时将这些知识系统化、整体化，形成一个知识网络是很有必要的。

如在教学五年级下册《多边形的面积》学习时，学生经常碰到这样的问题：

（      ）号图形的面积最大。

（      ）号图形和（      ）号图形面积相等。

我们可以利用课件动态演示梯形的上底慢慢缩短，而梯形上底与下底的和不变，下底会慢慢变长，上底缩短再缩短，最后变成0，而下底慢慢变长，可以把三角形看做上底为0的特殊梯形;反之，上底慢慢变长，上底与下底的和不变，当上底和下底一样长时，平行四边形可以看做是上底和下底相等的特殊梯形。

利用现代教学手段引导学生从运动变化的视角进行动态思维，较好地参透了动态几何思想。

（二）透过习题的合理改编，丰富整体教学

教师在教学中要注意错题的收集及时了解学生的学习状况，然后合理选择内容，关注图形之间的联系和整合，进行精心改编与设计，最大程度地体现习题的价值，要层层深入，以达到一题多练的效果。

如：人教版六上作业本第34页第5题改编成如下的题组。

（1）图1中，圆的面积与圆外正方形的面积比是（  ）：（ ）

我是这么想的：

（2）图2中，圆的面积与小正方形面积比是  （     ）︰（     ），也就是说图中圆的面积是这个小正方形面积的（      ）倍。当小正方形面积是2dm2时，圆的面积是多少？

（3）图3中，两个正方形的面积又有什么关系呢？

习题经过改编后比原来丰满了很多，把平面图形的知识点串连了起来，从整体上关注了图形之间的联系，既丰富了原来的习题，又突破了教材第72页的教学难点，通过三组图的对比分析，关注到不同图形之间的面积关系。

五、重视估测教学，培养估测意识

估测意识的能力是在实践中逐步发展起来的。《数学课程标准》（2011年版）要求学生“能估测一些物体的长度，并进行测量”，能“探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积”，“会用方格估计不规则图形的面积”。

（一）建立单位表象，修正估测策略

在日常生活中有时不需要得到精确的测量结果，只需要对结果作大致估计就可以了。如测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积;测量步长，利用步长估计教室的面积。这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。

而测量单位是估测的基础，教学中，教师要帮助学生建立测量单位的概念，形成表象，从而为估测奠定扎实的基础。学生如果积累了一定的实际测量的经验，那么从估测到精确测量也就顺理成章。这样，把估测与精确测量有机地结合起来，有利于学生比较估测与精确测量所得到的结果，修正估测的策略。

选择合适的估测“单位”是引导学生进行有效估测的关键，学生能在这样的操作中体验逐渐逼近的极限思想。

（二）基于学生已有的經验，激发探究欲望

以圆的面积为例，北师大版教材是这样编排的，在方格纸上画圆，再估算圆的面积，发现圆的面积比圆内正方形的面积（2 r2）大，比圆外正方形的面积（4 r2）要小，从而引出了圆面积的取值范围。笔者认为这样的估测是有必要的，事实上学生在接触这之前并没有“化曲为直”的经验，让学生把一个曲边图形转化为直边图形来计算确实有一定的困难，而北师大版教材的编排是基于学生已有的数学活动经验，遵循了学生的认知发展规律，也只有经历了这样的估测过程，才能激发学生对圆的面积计算方法的探究欲望。

笔者深深感觉“图形的测量”这一块内容是我们数学教学中的一个重点也是难点，怎样让学生理解度量的本质、掌握图形的知识点，又能看到各图形之间的联系，这都需要教师在教学设计上把握一个整体性的要求。

参考文献：

[1]曹培英.小学数学空间与图形教学研究[M] .上海：华东师范大学出版社，2004.

[2]刘加霞 石秀荣.小学数学空间与图形教学研究[M] .上海：华东师范大学出版社，2004.

[3]宋煜阳.长度单位填写：如何从感知臆断走向参照推理[J] .小学数学教师，2012（12）：49-54.

1浙江省杭州市萧山区万向小学，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市萧山区所前二小，浙江 杭州 311200