基于有限差分法的服装热传导模型

鲁湘婷 雷欢欢 徐任杰

摘要：针对高温环境专用服装各层织物厚度的设计，建立多层织物导热模型，给出对不同情况下带约束条件的极小泛函。我们基于Matlab程序语言，采用有限差分法及迭代法对问题进行模拟求解。针对高温环境下专用服装的热传递情况，建立间断系数热传导方程，求解热传导模型，得到温度分布规律。结合比热容方程及傅里叶变换公式，构建了温度与时间、材料厚度间的关系式，即热扩散方程。采用有限差分法数值求解。结合误差加密剖分给出修正，得到温度分布规律及温度随时间和厚度变化的三维分布关系。模拟结果与实验数据对比，优化后的模型明显误差减小，验证了模型的可行性。

关键词：间断系数热传导方程;傅里叶变换公式;有限差分法;迭代正则法

一、问题分析

热防护功能是一项被热点关注的功能，火灾救援、化工石油、赛车、热能研究等从业人员仍遭受着高温环境导致的人身安全问题。本文介绍高温度情况下专用服装传热的形式，分析温度较高情况下热辐射与热传导对热传递的作用规律，并根据热传递规律给出合理的假设，在干燥模型的基础上，提出了专用服装织物层材料的热传递数学模型，接着进行数值求解，并且用实际效果与模拟效果进行对比，依次运用正问题模型与织物材料反问题的提出进行模型验证。

为分析假人皮肤温度分布与织物厚度、热传导时间的相关性，根据一维稳态导热原理，结合傅里叶变换公式和比热容相关定义得到二阶热传导偏微分方程，根据热传递的一般规律，进行合理的假设，提出多层专用服装的热传递模型，用数值对模型进行求解，通过与实验测量结果对比，修正参数，得出温度与织物厚度d以及时间t的关系。

二、模型的假设

1.织物三层性质皆具有各向同性;

2.假定第一层织物阻挡了大部分辐射，可以忽略假人皮肤与专用服装传递中的辐射;

3.只考虑热传导、热辐射的传热，假人不会产生汗液，忽略水汽的影响;

4.进行热传递时，不考虑织物材料体积和结构变化;

5.假设织物内没有微环境，外界热量到假人皮肤外层只需要三个过程，外界环境与织物，织物与空隙，空隙与假人皮肤。

三、模型的建立与求解

3.1模型的建立

依据常用的热传递模型和扩散方程，建立模型用来描述高温情况下专用服装的热传递规律，对提出的数学模型，给出数学模型适应性较为完整的表述，最后给出有限差分的数值模拟，建立了多层织物的热传递模型。

假人所穿专业服装因材料不同分三层，为I、II、III层，III层织物与假人皮肤间的空气夹层记为IV层。

当外界温度高于假人皮肤温度，产生温度差发生热传导。前三层是织物，故只考虑发生热传导，由于三层材料热传导能力不同，单位面积内传递到下一层的热量不同，故应依次考虑不同层传递到下一层热量的变化。第IV层是空气层，我们要考虑空气层的静态导热能力，还需考虑服装与假人皮肤间隙产生的对流换热情况。所以将I、II、III层与第IV层分开进行分析计算，我们将为高温条件下的专用服装热传递建立数学模型，并且进行分析和数学求解（将织物层和空气层分开考虑）如下所示：

1）织物热传导分析

以第I层为例，在相同温度的外界条件下，织物热量传导与自身比热容还有时间有关。以傅里叶理论[1]为依据得

根据不同材质将专用服装分为三层，将I、II、III 、IV层的厚度 等分，经调整分析得出 最优解，我们分析在假人表面温度不再发生变化的时间段，故取此时间段之前的时间，将其分为 等份，求出 的最优解。从而解得 ， ，根据各材质厚度在所占总长度的比例加权，得如下所示材料所占比例：

分别对应系数不同的扩散方程，令

表示I、II、III層对应扩散方程前的系数.设厚度边界范围（以第Ⅰ层为例）：

2）空气热传导分析：

空气热传导会有两种情况，不仅有单纯的热传导，还会涉及对流换热。其热传导计算与织物类似，则思考第二种形式。Torvi利用流动可视化与数值模拟的方法推导出当空气层的厚度达到6.4mm时出现自然对流[2]，故由于该题设置中，空气层的厚度最大为6.4mm。故空气层的对流换热不予考虑，即空气层的热传导计算与织物热传导计算雷同。

用差分法解偏微分方程[3]，如下所示：

故将第一层织物的厚度以 的宽度进行微分，分为 等分;时间以 的时长进行拆分，分为 等分。即上式也可表示为：

（3）可表示为：

3.2模型的求解：

以第一层织物为例，将该层织物的各项性能参数用MATLAB导入如下线性方程组：

将实验值与所构建模型的预测数值进行比较，如下所示：

3.3结果的误差分析：如上图所示，数据在前期有较小偏差，后期出现震荡。原因如下：产业服装的导热系数会因为温度的升高出现变化，但题目中已经给出对应材质的导热系数;我们假设的服装过于理想化，对于实际服装温度升高后的散热现象没有深入研究;后期数据震荡较大，是由于将空气层分布不均匀，对应单位面积上的导热系数也不相同，是一个时变函数，因作者水平有限，导致误差出现偏差。

3.4模型的修正：

接着我们对模型进行改进，将试验数据进行更细致的剖分，全面分析数据的变化关系，得到了相关数据模型。首先，改进后模型充分利用边界与起始条件，使数据模型趋于合理前期小偏差更小;其次，对不同厚度的服装材料进行不同程度的剖分，使各层材料的性质与热量传导的关系，通过图像直观的展现出来。最后，通过前后对比可以观察到，改进后的数据模型，后期数据震荡现象明显改善。

将实验值与所构建模型的预测数值进行比较，如下所示：

参考文献

[1]陈森，杨宁，李华琪，朱磊，胡攀，马腾跃，陈立新.基于汽泡壅塞流模型的竖直圆管临界热流密度理论研究[J].核动力工程，2018，39（04）：48-52.

[2]TORVI D A，DALE J D，FAULKNER B.Influence ofair gaps on bench-top test results of flame resistantfabrics[J].Journal of Fire Protection Engineering，1999，10（1）：1-12.

[3]罗宏.用傅里叶定律分析无限大平行平板中的准稳态[J].物理实验，2014，34（08）：31-33.

作者简介：鲁湘婷（1997.04-），女，甘肃省人，本科，单位：石河子大学，研究方向：应用数学。