微积分中函数极限求法的浅析

程松林

摘要：函数的极限是微积分各种考试中经常出现的基础考点，其方法和技巧的分析总结有助于导数和定积分等概念的理解。本文结合经典考题，讨论了函数极限计算中的三种主要方法，以期学生对相关计算能够理解并灵活运用。

关键词：函数;极限;微积分

函数是微积分的研究对象，而一元函数的极限是微积分计算的基础。如何求函数的极限问题是许多大一学生和考研同学在微积分学习备考中比较关注的要点之一，相对于其他章节内容，此部分内容容易上手，但具体计算时由于选择的方法不一定合适和有效，解题过程会经常出现一些不该犯的错误而造成失分。

函数的极限类型主要有0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等七种未定式情况，其中最为关键的是0/0和∞/∞型，其它五种通过“幂指分离”方法可以转化为这两种类型。对于0/0和∞/∞型未定式函数的极限，常见的方法有分解因式去零、无穷小因子分出、分子（分母）有理化、等价无穷小替换、洛必达法则和泰勒公式等。对于一般选拔性质的微积分考试，如插班生、高等数学竞赛和研究生数学考试，考查最多的主要集中后三种方法上。基于相关的典型问题，本文对微积分一元函数的极限计算进行简要分析如下：

一、等價无穷小替换

同济大学《微积分》教材上给出了函数乘积运算时的等价无穷小替换定理，需要强调的是函数求和时的等价无穷小替换定理并没有给出，可以考虑基于极限的四则运算加以转化，灵活运用。

二、洛必达法则

值得注意的是在计算0/0和∞/∞型未定式时，运用洛必达法则前尽量对函数部分项进行简化，如果有因子项能用等价无穷小替换需要先行替换，如果有部分项的极限存在（若在分母中要求极限不为零），可以考虑拆项先将此部分项极限求出来。这样，可以明显降低使用洛必达法则进行计算的复杂度。

三、泰勒公式

有些函数极限的计算运用洛必达法则时可能会显得比较复杂，而运用泰勒公式方法呈现明显的简便性，特别是函数sinx，e，ln（l+x）在x=0处的佩亚诺余项展开式，在考试中需要重点关注。

解：由sinx在x=0处的佩亚诺余项展开式得sin 6x = 6x-1/3！（6x）+o（x），代入原式

解：由函数ln（1+x）在x=0处的佩亚诺余项展开式得ln（1+x）=x-1/2x+o（x），则在

考试中关于函数的极限计算题目是多种多样的，但解题考查的要点大多集中在等价无穷小乘积替换、洛必达法则和泰勒公式等方法技巧上。在教学过程中，老师需要注意讲解不同类型的题目和加以分析比较，弓l导学生积极思考并不断总结规律。在平时的学习过程中，学生需要通过大量题目的演练形成“题感”并灵活运用，才能在考试中更快地找到合适有效的计算方法，从而取得理想的微积分成绩。

参考文献：

[1]同济大学数学系.微积分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]李永乐，王式安，武忠祥.数学厉年真题全精解析[M].西安：西安交通大学出版社，2019.