赏析线段和的最小值问题

陈静雅

【摘 要】线段和最小值问题考察的是学生数形结合的能力，综合性较强。因此，它始终是中考的一大热点.解决此类问题的原理是线段公理和垂线段最短定理，但试题一般会综合考察轴对称、旋转、平移、函数等知识。本文运用基本模型及其变形来解析2019年中考相关题目。

【关键词】初中几何;线段和最小值;线段公理;垂线段最短

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）34-0114-02

1   基本模型

1.1  垂线段最短

过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

1.2  线段公理

两点之间线段最短。

①线段公理变式1：即人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题。

②线段公理变式2：如图1，已知点A、B为射线ON和OM外的两个定点，P、Q分别为射线ON和OM上的两个动点，确定当PA+PQ+BQ最小时，P、Q的位置。

方法：分别过点A、B做射线ON、OM的对称点A′、B′，连接AB′，此时AB′与ON、OM的交点P1、Q1即为所求。（通过轴对称变换，将折线“掰直”）

③线段公理变式3：如图2，已知点A、B分别为直线l外同侧的两个点，P1、P2分别为直线l上的两个动点（P2在P1右侧），且P1P2=1，确定当AP1+BP2+P1P2最小时，P1的位置。

方法：将点B水平向左平移1个单位得到B′，过点B’做l的对称点B’″，连接AB″，此时AB″与l的交点P即为所求。（通过平移，将两条被P1P2分开的线段移在一起，再通过轴对称变换将折线“掰直”即可找到P1。）

2   运用基本模型来解2019年部分省市中考相关题目

例1（2019潍坊）如图3，直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=____。

解析：由题意可知，点P在y轴上运动，A、B为y轴外的两个定点。要确定P点的位置使PA+PB最小，因此我们可确定本题的模型为变式1。确定点P位置只需作点B关于y轴的对称点B′，连接B′A与y轴的交点即为P。根据函数、方程、对称的相关知识，即可求出点P、C、B的坐标，所以S△PAB=S△PCB-S△PAC=2.4.

例2（2019达州）如图4，抛物线y=﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B。④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为+。其中正确判断的序号是____。

解析：由题意可知，D、E分别为x轴和y轴上的动点，B、C分别为x轴和y轴外的两个定点，题目是求BE+ED+DC的最小值.因此可确定本题的模型为变式2，求四边形BCDE周长的最小值，即求BE+ED+DC的最小值，要求BE+ED+DC的最小值，就要把折线“掰直”，其中B、C为定点，E、D为动点，所以根据将军饮马，分别作出C、B关于x、y轴的对称点C′、B′。因此，BE+ED+DC就转化为B′E+ED+DC′，B′E+ED+DC′的最小值就为C′B′，根据函数和对称相关知识即可求出C′B′=，进而可求出四边形BCDE周长的最小值为.

例3（2019成都）如图5，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C、A′D′、B′C，则A′C+B′C的最小值为____。

解析：由题意可知A′、B′，以及A′、B′所在的直线都是动的，但两个动点A′、B′之间的距离不变，这与变式2模型类似，所以将A′C平移至B′C′（如图5），此时A′C+B′C最小值就是B′C’’+B′C，而此模型正是将军饮马的模型。所以连接AB′，B′C″+B′C的最小值就是AC″。因为A′B′移动的方向和长度固定，所以C″的位置是固定的.进而根据相关几何知识即可求出AC″=.

例4（2019长沙）如图6，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是？

解析：由于定点B和动点D在同一条线段上，所以本題不是将军饮马的问题。因此解题的关键是要把线段CD和D“掰直”，但是还不知道BD代表哪一条线段，所以要想办法将BD转化成一条可视的线段.而且一般情况下，一条带倍数的线段可以通过三角函数将其转化为另一条线段，所以通过tanA=2可以计算出cosA=，因此，可以联想到将BD转化为以BD为斜边，且有一个角等于∠A的三角形中的一条直角边。所以过D作DF⊥AB于点F，此时BD=FD，因此BD+CD=FD+CD，这时FD+CD就可以“掰直”了，“掰直”之后就是CF，接下来根据垂线段最短，所以CF的最小值为CG=。

据不完全统计在今年各省市的中考试题中，成都市、达州市、武汉市、宿迁市的填空压轴，长沙市选择题压轴以及重庆市大题压轴题都考察了相关知识。这类题目综合性强，难度较大，虽然考察的内容与问题原型相比会有一些变化，但是仔细阅读题目，寻找与问题原型共通的地方，根据问题原型的解决办法去寻找题目的突破口，才是解决问题的方法。

参考文献

[1]朱广科.线段和（差）最值问题的变式探究与启示[J].数理化学习（初中版），2016（11）.