含参数的不等式恒成立问题

姚娅琪

摘要：由于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题，本节课应用不等式恒成立问题的常见类型，引导学生体会转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想，由浅入深，由简到难，探讨如何来解决这类问题，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。

关键词：参数不等式最值

教材分析：

不等式恒成立問题是近年高考的热点问题，交汇函数、方程、不等式和数列等知识，有效地考查学生的逻辑推理和逻辑思维能力等综合应用能力，所以也是难点，学生的得分率相对较低。

教学目标

知识与能力：

学会含参数不等式恒成立问题向函数最值问题的转化，会求一些简单函数的最值。

教学过程与方法：

通过实例探讨研究，体会数学从已知到未知，从数到形、从简单到复杂，以及参变分离中的转化与化归、数形结合、分类讨论等思想。促进学生的理性精神，让学生具有分析问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：

培养学生的探究精神，体会事物之间既可以相互转化同时又具有统一性的辩证唯物主义思想。

教学重点：不等式恒成立问题的解决方法以及求函数的最值问题。

教学难点：渗透转化和化归思想到数学学习内容和解题过程中，对含参数不等式的恒成立问题的转化。

教学课时：1课时

教学过程：

一、思考讨论，合作交流

【设计意图】用数形结合方法不能做出函数图像，形成认知冲突，激发学生的学习兴趣，使学生有目的的进行转化，并轻松的解决求最值问题。

三、应用探究，触类旁通

思考2：该题是以一种函数的形式给出的，你还可以把这道题改变为其它形式吗？（让学生改编）

本题能否用数形结合呢？大家发现函数的图像不易做出来。那么我们该怎么做呢？

学生先自己解决，在学生求最值有困难时，我做以下复习：

应用导函数求函数最值的步骤：

求函数定义域为先，导数为零根求见，无根全域增或减，有根标在数轴间，根分定义域为区间，列表增减极值现，极值和端点值求遍，最值就在这里边。

【设计意图】让学生自己发现数形结合是应用于图像便于做出的函数中的，当发现图像不易做出时，就要构造函数求最值，此时，有些同学可能对应用导数求最值的过程与方法有些困难，而编成口诀使学生朗朗上口，更容易掌握。

【设计意图】引导学生经过分析，将未知转化为已知，其中也体现了转化和化归的思想，同时提醒学生，在平时的学习中要学会将类似的题目进行比较和归纳。

四、课堂小结：

1、合理转化：对于 或 形式呈现的恒成立问题，我们可以构造新函数，利用导数在求解函数最值的优越性，从而轻松、简捷地解决相应问题.

2、等价结论

3、数学思想和数学方法：转化与化归，数形结合，分类讨论。通过构造函数判断其单调性、求函数的最值。

五、课堂练习：已知函数 ，若  恒成立，求实数 的取值范围。

六、课后作业：

已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围。

七、课后延伸

做完该题后，你能总结做这类题的模型吗？

【设计意图】通过课堂练习课后作业和课后延伸，给学生一些思考的空间，让学生学会自主学习，为终身学习打下良好的基础，养成良好的数学学习习惯，不断提高数学学习素养。

参考文献：

[1]罗增儒  基于核心素养的教学研修——在“核心素养背景下数学教师的专业发展”（南京）会议上的发言（整理）中学数学教学参考（上旬） 2018年第9期

[2]田晓霞“导数的综合应用——不等式恒成立问题的一种常见类型”的教学设计 中学数学教学参考（上旬）2018年第9期

[3]陈时见 课堂学习论  广西师范大学出版社  2005.2