有关奇完全数的一些注记

麦麦提明·阿不都克力木

摘要：奇完全数的存在性问题是数论中至今尚未解决的一个著名问题.讨论奇完全数的倒数和，给出相应的结论.同时讨论了不被3整除的奇完全数相异素因数的个数，得到了？棕（n）≥40的结论.

关键词：奇完全数;倒数和;相异素因数个数

中图分类号：O156  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）09-0008-02

1 引言

设N+是全体正整数的集合.令（n）表示正整数 的所有正因数（包括1和n）的和函数.如果n= pi∈N+满足

（n）=2n=（pi），=

则n被称为完全数.到目前为止，只发现了51个完全数且都是偶数，而尚未发现奇完全数存在. 是否存在奇完全数，这已成为数论中至今尚未解决的一个著名问题[1].

数学家Euler[2]研究得到：如果n为奇完全数，则n=？仔？琢p1p2…ps，其中？仔，pi（i=1，2，…，s）是相异的奇素数，？茁i∈N+，且？仔≡？琢≡1（mod4）.2001年，刘[3]证明了：若n=（4k+1）4l+1a12为奇完全数，则a1不含用4k+1的素因数.

奇完全数存在性问题虽尚未解决，与其有关的问题却引起了众多学者的关注，如其相异素因数个数的下界估计与素因数的大小情况、奇完全数的下界大小估计以及各种形式的奇完全数n的倒数和∑等问题.以（n）表示为奇完全数 相异素因数的个数.Hagis[4]证明了（n）≥8，并且在3n的情况下证明了（n）≥11;Nilsen[5]进一步改进奇完全数相异素因数的个数，他证明了（n）≥9，并且在3n的情况下证明了（n）≥12.2011年，张四保，邓勇[6]证明了：当3n时，（n）≥16.如果n是一个奇完全数，那么n>10500.[7]奇完全数n的第一大素因数大于108[8]，第二大素因数大于104.[9]若n=p1p2…ps是不被3整除的奇完全数，则p7≥103，p8>1559.[10]而对于各种特殊的奇完全数n的倒数和∑也有所研究，如文献[11-12].

本文在以上有关研究的基础上，研究了奇完全数的倒数和，并讨论了不被3整除的奇完全数相异素因数的个数，将文献[6]，[11]，[12]相关的结论进行了改进.

2 定理的证明

定理1 如果n是奇完全数，那么∑<2×10-250.

证明 如果v（x）={n≤x：n是奇完全数}，那么#v（x）≤x[13].根據Abel分部求和公式及结论：如果 是一个奇完全数，那么n>10500，有如下关系

=

=+dt

<=-=2×10-250.

定理2 如果n是不被3整除的奇完全数，则（n）≥40.

证明 将n写成标准分解式n=p1p2…ps，其中p1，p2，…，ps是相异的奇素数，？茁1，？茁2，…，？茁s ∈N+.由于n是奇完全数，根据完全数的定义，有（n）=2n，而是积性函数，进而有如下关系式.

（n）=（p1p2…ps）=（p1）（p2）…（ps）

=（1+p1+…+p1）……（1+ps+…+ps）

=2p1…ps.

进而有

2=

=….

要证明（n）≥40，只要证明（n）=39不可能，且当（n）=39时有<2即可.由于收敛，且==，所以<，…，<.构造函数f（x）=，当x1，x2∈[3，∞），且x1>x2时，有

f（x1）-f（x2）=-=<0，

则函数f（x）=在区间[3，∞）是单调递减的，且当x∈[3，∞）时，有f（x）=>1.那么，在讨论奇完全数n=p1p2…ps的奇素因数pi（i=1，2，…，s）时，只需考虑最小奇素数的情况.而根据文献[8-9]，可知，在奇完全数n=p1p2…ps的素因数pi（i=1，2，…，s）中，必然n的有些因数要大于108，104.而在素数序列中，100000007是大于108且满足100000007≡3（mod4）的第一个素数，10007是大于104且满足10007≡3（mod4）的第一个素数.

现假设（n）=39.5是第一个满足5≡1（mod4）的奇素数，根据文献[3]、[10]的结论，以及上面的分析，可令

X={p1，p2，p3，…，p38，p39，p40};

Y={p1′，p2′，p3′，…，p38′，p39′，p40′}，

其中p1′=5，p2′=7，p3′=11，p4′=19，p5′=23，p6′=31，p7′=103，p8′=1567，p9′=1571，p10′=1579，p11′=1583，p12′=1607，p13′=1619，p14′=1627，p15′=1663，p16′=1667，p17′=1699，p18′=1723，p19′=1747，p20′=1759，p21′=1783，p22′1787，p23′=1811，p24′=1823，p25′=1831，p26′=1847，p27′=2867，p28′=1871，p29′=1879，p30′=1907，p31′=1931，p32′=1951，p33′=1979，p34′=1987，p35′=1999，p36′=2003，p37′=2011，p38′=10007，p39′=100000007.由于函数f（x）=在区间[3，∞）是单调递减的，只要X中有一个异于Y中的任意一个，则有

…

≤…

<×××…×

×<2.

由上式可知，当（n）≥39时有<2，即当（n）≥39时，n=p1p2…ps不是奇完全数，那么（n）≥40.

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参考文献：

〔1〕[加]R.K盖伊，著，张明尧，译.数论中未解决的问题[M].北京：科学出版社，2003.

〔2〕Euler L.， Commentationes arithmeticae collectae [J]. Tractayus de numerorum doctrina 1849， 2： 515-517.

〔3〕刘修生.完全数问题的探讨[J].湖北成人教育学院学报，2001（3）：48-49.

〔4〕Hagis P. Outline of a proof that every odd perfect number has eight prime factors [J]. Math Comp，1980，35：1027-1032.

〔5〕Nilsen P P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors [J]. Math Comp，2006，to appear.

〔6〕Zhang Sibao，Deng yong. Number ω（n） of distinct prime factors for a kind of odd perfect number[J]. 中国科学院研究生院学报，2011，28（4）：548-550.

〔7〕J. Voight. On the nonexitence of odd perfect numbers [J]. MASS selecta， 2003， 293-300.

〔8〕T. Goto， Y. Ohno.， Odd perfect numbers have a prime factor exceeding [J]. Math Comp 2008， 77： 1859-1868.

〔9〕G. L. Cohen， Sorli R.M. On the number of distinct prime factors of odd perfect number [J]. Journal of Discrete Algorithms， 2003，1：21-35.

〔10〕黄贵贤，朱同生，黄小彤，等.不被3整除的奇完全數至少有9个不同素因子的一个证法[J].数学通报，1994（9）：35-38.

〔11〕陈克瀛.关于奇完全数倒数的级数[J].温州师范学院学报，2001，22（6）：1-3.

〔12〕李秀玲.一类奇完全数的倒数和[J].吉林师范大学学报，2010，31（2）：105-107.

〔13〕B. Hornfeck. Zur Dichte der Mengge der vollkommenen Zahlen[J]. Arch.Math， 1955， 6： 442-443.