浅议初中数学中数形结合思想

李大利

摘要：近年来，很多人都在对数学中重要思想——数形结合思想进行研究。其实从七年级的数轴、绝对值、有理数就出现了数形结合思想，而后的几何、函数等领域的学习中更是将这种思想贯穿始终。可见数形结合思想在初中数学中占着举足轻重的地位，数形结合有利于训练思维能力、提升记忆力和培养创造力。要使每位同学都真正懂得如何运用数形结合思想，以及明白在什么时候运用数形结合思想。则必须要对初中生的年龄特征进行具体分析，以及了解他们在每个学习阶段的认知水平和正在学习的新知识的特点以及新旧知识之间的练习，要逐步渗透、螺旋上升。这就要求教师在备课时，应该精心备课，有意识地把数形结合思想渗透到每个教学环节。[1]

关键词：数形结合思想;初中数学教学;渗透

一、引言

在初中数学的数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想统称为基本数学思想。[2] 而数形结合思想是初中基本数学思想中比较重要的思想之一。从近年来中考数学试卷中，可以清楚观察出利用数形结合思想解决的题目比比皆是。我们对中学数学中数形结合思想的研究不仅有助于学生更好地掌握中学数学知识，而且能够增强他们的解题能力。如果熟练地掌握了数形结合思想并合理运用，那么将会取得事半功倍的效果。但是数形结合思想不同于其他知识，需要经过长时间的观察、分析、巩固，然后逐渐积累而成。

二、数形结合思想有利于学生的发展

（一）.数形结合思想有利于锻炼思维能力

在初中数学的课堂教学中渗透数形结合的思想，既可以轻松揭示数学问题的本质特征，并且又可以让学生非常直观地看到数学问题的结果。所以只要把知识体系中己有的知识计算和推导运用得当，就能够很容易地推导出数学对象的整体结构，从而学生就可以独立、迅速地得到所求解的数学问题的答案。因此数形结合的思想有利于锻炼学生的直觉思维能力。

（二）.数形结合思想有利于提升记忆力

初中阶段所学习的数学知识是属于基础性的知识。有人说知识就是力量，但前提是记住这些知识。牢牢地记住并正确使用这些知识对数学整体体系的学习大有裨益，而记忆是掌握任何知识的最基本途径之一。数形结合思想的正确运用能够帮助学生在头脑中逐步形成数学图象，以便于更加形象地记住这些信息。

（三）.数形结合思想有利于培养创造力

在平时的数学的课堂教学中，教师可以适时、适量地给出一些难度系数稍微高于学生能力，但通过他们的探究又能解决的新颖的数学题目，并且鼓励学生大胆动手，不要在难题面前退缩。帮助他们树立解题信心，帮助他们摆脱用以往固定思维模式去思考问题。合理应用数形结合思想可以帮助学生培养创造力以及创新精神。

三、数形结合的作用

数形结合思想不仅是初中的基本思想之一，也是解决数学问题最常用的途径之一。“数”与“形”两者之间有着密切的关系，彼此渗透，可以互相独立，而在一定程度上又可以相互转换，即“以形解数”和“以数解形”两种情况。

（一）.数形结合在代数中的作用——以形解数

数学图形的优势是形象、直观、易懂，能够将抽象的思维形象地表现出来。但是在定量的数学问题方面很大程度上还是要借助代数的计算，尤其是对于一些非常简单或者是相当复杂的图形，如果我们只用眼睛去直接观察，往往很多时候是得不出什么对我们有用的规律或者结论来的，这时数学图形的优点就能够展现得淋漓尽致。利用数学图形可以挖掘出隐含在数学图形背后的条件，再正确地把数学图形数量化。利用“数”来解决“形”的问题，其实质就是通过把数学图形的问題转化成数学数量的问题，再进行具体分析、计算以及逻辑推理，最终获得解决数学图形问题的方案。

以形解数的优点是利用“数”的精确性来阐述“形”的抽象性，可以很方便地阐述图形的模糊，尤其是在解决几何问题时，利用其中某些量之间的数量关系，联系代数方法，可以在很大程度上弥补想象的不足。

（二）.数形结合在几何中的作用——以数解形

“以数解形”其实就是利用“数”的严密性、精确性去揭示“形”所隐含的代数关系，反映出抽象图形中的某些特性。在解决数学疑难时，对于有关几何图形性质的难题，我们能够将它转化成数量关系之间的问题，这不仅对学生灵活解决问题有所帮助，还对培养学生转换数量关系与抽象图形的能力大有裨益。

而是要根据初中生的年龄特征，循序渐进、由浅入深地渗透数形结合思想，可分为领悟、展示、突出、概括四个环节来进行。

四、渗透数形结合思想的步骤

（一）.对数形结合的初体验——领悟阶段

数学概念是数学知识点的精华，是需要经过长期的分析、比较、抽象、综合、概括等多种思维形式的加工过程。数学概念的教学绝不仅仅只是几个简单的定义、原理、定理，而是需要教师积极地去引导学生感受、认识暗藏在数学概念形成过程中的数学思想。因此，在进行数学概念的教学时必须要完整地向学生体现过程，并且逐步引导学生发现隐含在数学知识背后的数学思想。如：“数轴上一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值。”这是绝对值的概念，可是对于刚刚从小学升入初中的大部分学生而言，绝对值的概念不仅抽象而且难以真正地理解、领会，这是若教师在课堂的教学过程中配以图形来帮助学生理解、领会，相信肯定会事半功倍。

例1：求 ， 的值.

从图3可以很明显地看出： 就是 的长度5， 就是 的长度3.

（二）.对数形结合思想的碰撞——展示思想

“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论.”[6] 在探究数学知识的过程中，我们所要用到的数学思想远远比要准备学习的新知识它本身更加值得我们学习。我们所学习的数学教材中的各种定义、原理、定理、公式，都是千百年来许许多多数学家们的智慧的结晶，是他们运用诸多数学思想得出来的正确的精华。所以，在进行数学定理的教学时，教师应该积极地引导学生亲身参与、经历定理的探究过程，理清所学习的定理、公式与其它学过的知识之间存在的联系，使新旧知识在头脑中形一个系统，并且亲身感悟在推导数学定理的过程中所用到的数学思想。

例2：若不等式组 恰好有两个整数解，求 的取值范围？

解：由题中所给的不等式组可以得到 由题目可知，不等式组有两个整数解，所以不等式组有解，它的解集是 。所以这两个整数解依次为：0，1.故在数轴上表示如图2。

于是： ，解得： 。

（三）.对数形结合思想的价值化——突出阶段

解题过程其实质就是合理应用数学思想和数学方法的过程，是数学思想和数学方法指导问题解决的每一步的转化，从此处可以非常清楚地明白授“渔”远比授“鱼”更加重要。在初中数学的课堂教学的过程中，教师不仅仅要注重知识本身的传授，而更应该注重数学思想和数学方法的教学。要从题海战术中解脱出来，关键是要真正地掌握方法，真正明白数学思想。因此，在进行解题的教学时教师断不能只就题论题，而应该积极地引导学生该往哪里想。集中在数学思想方法上，然后突出数形结合思想解决问题的功能。

例3：甲乙两地间隔10公里，现有A、B两人分别从两地出发，并且相向前进.假设他们是始终保持匀速前进，那么10分钟后A前进了1公里，B前进了0.8公里，求多长时间后他们能够相遇？做这种题，只要画出线段图（如图3）、列式，问题就迎刃而解了。

（四）.思想概括

弗赖登塔尔曾解释：“如果建构是证明过程之前的阶段，则必然有一个中间阶段，我相信那就是反思。”学生只有真正地理解、概括数形结合思想，把它内化为自己的知识，才能正确应用数形结合思想去解决数学问题。所以要求教师在初中数学课堂教学的过程中要将数形结合思想落实到具体的数学教学设计中，并且要有意识地积极地引导学生参与到数形结合思想的概括过程中，尤其是在数学知识教学结束之后再带领学生复习数学知识本身的同时，还应将数学知识中的数形结合思想总结出来。这样做不仅可以提升学生对于数形结合思想的应用意识，也能够使他们分析、研究、处理数学问题的能力得到最大程度的锻炼。

在数学教学中，我们一定要牢记“数”与“形”的结合，对于一些直观图形我们可以赋予数量的含义，而对于一些抽象数量我们又可以赋予一些图象的含义，从而能够有效地解决数学问题。

从本质上来说，数形结合思想在初中教学中，就是把抽象语言与直观图形有机地联系起来，充分利用“数”和“形”之间的互相转换，解决复杂问题。相信只要经过长期数形结合的思想的训练，在实际的解题过程中合理地去应用数形结合的思想，初中数学教学必将迎来一片新的天地。

参考文献：

[1] 李雪.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析[D].河北师范大学，2013.

[2] 黄平.中学数学中的数形结合思想[D].江西师范大学，2012.

[3] 刘冰楠.數形结合方法在初中数学教学中应用研究[D].内蒙古师范大学，2012.

（作者单位：四川大学附属中学西区学校）