例析动态几何中的矩形变换问题

王兴凯 翁胜利

摘要：矩形通过旋转、折叠、平移能够实现矩形由静态向动态变化的过程，易于学生通过实践操作进行观察和验证，置学生于亲身体验中建立几何直观，发展空间观念和想象力，从空间变换层面发展学生的运用意识和创新精神.着重考查了学生的应变能力和数学素养，是中考试题中的一抹亮丽的色彩.

关键词：矩形变换;实践操作;数形结合;转化对应

作者简介：王兴凯（1972-），男，江苏淮安人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学课堂教学及中考试题研究;

翁胜利（1977-），男，江苏淮安人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学课堂教学及中考试题研究.近年来的中考动态几何试题中，经常出现一类通过矩形的旋转、折叠、平移来发展学生的空间观念与几何直观，考查学生的数学探究和空间想象力的问题.这类问题通过以上三种变换实现了图形由静态向动态变化的过程，增加了背景的复杂度和问题的新颖度，让学生从“变化中找不变”，从图形的變换中体会“变中不变”的思想、数形结合思想、转化与对应思想等，从空间变换层面发展学生的运用意识和创新精神.本文以中考题为例加以阐释，供参考.

1动态几何中的矩形作旋转变换

例1（2018年临沂市）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<α<360°），得到矩形AEFG.

（1）如图1，当点E在BD上时.求证：FD=CD;

（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由.

评析本题入口宽、起点低、层级递进、思维步步晋阶，以矩形的平移和旋转为背景，利用平移与旋转的性质是化解问题的关键.解题（1）的关键是利用三角形中位线和直角三角形斜边上中线的性质，结合锐角三角函数求出EF与FG的长;解题（2）的关键是先确定平移距离x的范围，再根据重叠部分的形状进行分类并表示出其面积，建立方程获解;解题（3）的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程，从而使问题得以解决.

（收稿日期：2019-05-21）