三角规

萧淑芬

研究背景

我担任数学教师多年，教学生涯中时常感到学生学习数学的动力不足，认为数学学习是枯燥乏味的。为此，我尝试在教学中加入不同课堂活动或其他教学元素，希望学生能通过这些教学活动摆脱对数学学习的不良印象及恐惧，领略学习的乐趣，尤其能领略数学学习中最有趣的“发现”过程。

中学生普遍最抗拒的是几何课，因为当中涉及大量图形，陌生难懂。但如能让学生多些机会画图，从中了解边长、角度等几何条件之间的关系，必能增进学生的学习兴趣和对知识的理解。

在中学数学课程中，学生要学习的图形不外乎三角形、圆形等。可惜，学生认为画图时要动用很多工具，不容易掌握，把畫图视作一件苦差。以此为出发点，我开始思考如何改善这一问题。的确，在市面上的工具中，画三角形可利用三角尺和量角器，画圆形可利用圆规，但是没有一件可以同时满足上述功能且方便使用的文具。基于自己的工程学背景，我开始着手设计教具三角规。

研究原理

设计这个画图工具之前，需要了解三角形的特性，才能找到设计的方向。一个任意三角形有不同的心，三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，这个交点同时也是三角形外接圆的圆心，且这个外接圆的圆心角和三角形的内角有一定的关系。

我们从图1开始思考。连接三角形的3个顶点，形成1个三角形（图2）。图形的圆心亦是三角形的外心。从圆周上的两点出发，连接圆心的角为圆心角，连接圆周的角为圆周角。以下运算显示圆心角和圆周角的关系：

因为AD=AC=AE（半径），所以∠CDA=∠DCA=a（等腰三角形底角），∠DAF=2a（三角形外角）。同理，∠FAE=2b，所以∠DAE=2a+2b=2（a+b）=2∠DCE，即∠DAE=2∠DCE。由此，得出结论：圆心角=2×圆周角。在此基础上，我们可将绘画三角形的2个内角转移为沿三角形外心绘画2个圆心角的问题，进而简化画图过程。

假如需要绘画1个其中2个锐角角度分别为a、b的三角形，我们只需以三角形外心O为圆心，从点A出发顺时针数至2a度，标记为点B;再由点A出发逆时针数2b度，标记为点C;最后以直线连接A、B和C点，2个锐角分别为a和b的三角形就可绘图完毕，十分方便直接（图3）。

三角规结构

经历数次改进，最终设计的三角规主要由刻度转盘（图4）和指针（图5）2部分组成。

刻度转盘上刻了2圈刻度。外国刻度设计为每刻度为1°，正上方定为0°，顺时针数由0刻度至180刻度，逆时针数也是0刻度至180刻度，每10度有标记，一共360刻度。为方便使用，内圈刻意设计为每刻度为2°，正上方定为0°，顺时针数由0刻度至90刻度，逆时针数也是0刻度至90刻度，一共180刻度。如此，如绘画内角为a和b的三角形，只需依内圈数a和b刻度就行，不需再作转换。

圆盘上的穿透部分是为了方便使用者画少于5cm的边长。圆心位置也是穿透的，方便作图时定点。

此教具附2支指针。指针充当直尺作用。2支指针上都有刻度，刻度设计为每刻度1mm，共长15cm，其规格与一般直尺无异。其中1支指针上每隔1cm有洞，方便绘画圆形。当指针装在刻度圆盘上后，可以360°随意转动，方便使用者绘画任意角度的角或者任意长度的边长。此外，为使指针可水平放置于刻度圆盘上，我在指针末端加设弧形承托点，可于指针旋转时降低摩擦力。

教学用途

三角规是一件实用的工具，利用三角规能便利地绘画任意角度和边长的三角形及不同大小的圆形。不仅可以大大加快学生的画图速度，在教授三角形或者圆的性质等课题中亦有实质的帮助，还可通过笔者设计的教学活动经历“发现学习”的过程，发现图形规律和性质，从而帮助学生学习和记忆。

以绘画已知3个角度的三角形为例（图6），我们把三角规放在纸上，把指针置于0刻度，用笔在0刻度上标记一点（图7），然后顺时针方向在你想要的度数下标记另一个点（图8）、逆时针方向在你第2个想要的度数标记一点（图9）。拿开三角规，用直尺将3点连在一起，最后列明3点的度数（图10）。利用指针上长度的标记，我们可以绘画不同大小但相同形状的相似三角形。限于篇幅，有关三角规在教学上的其他应用及使用方法不再一一详述。

改进方向

在实际应用中，本教具存在3方面不足。一是因为刻度圆盘的样式限制，此教具只能绘出1～4cm或6～15cm半径大小的圆形和1～4cm或6～15cm边长范围的三角形;二是三角规可绘画提供角度、边长中任意3个条件的任意三角形，但不能绘画提供三边边长的三角形;三是因使用镭射切割机制作此文具，制作过程会使胶片模糊，有可能令刻度模糊，而且因为制作方法限制，不能制作更小的模型。这也是本教具下一步需要改进和完善的方向。

该项目获得第33届全国青少年科技创新大赛科技辅导员创新成果科教制作类一等奖。

专家评语

该项目研制设计了一种三角规，能便利地绘画任意角度和边长的三角形及不同大小的圆形，有助于提高画图的速度。项目选题新颖，原理科学、概念清晰、构思巧妙、设计合理，作品实用性强，具有推广价值。