从“鸡兔同笼”到行列式管窥数学基本特点和思想方法

陈定中

【摘要】“鸡兔同笼”是中国古代著名趣题之一，对启迪数学思维、感知数学思想方法具有经典价值;行列式作为基本的数学工具，在线性代数、多项式理论、微积分学中，都有着重要的应用.本文通过分析“鸡兔同笼”问题求解、引入方程组方法，再延伸到用行列式求解方程组;对数学学科的思想方法及其基本特点进行探究，以期为数学学科学习者和教育者理解数学有所帮助.

【关键词】鸡兔同笼;行列式;数学

一、“鸡兔同笼”到行列式

（一）“鸡兔同笼”问题及算术求解

1.大约在1 500年前，《孙子算经》中记载了个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？

2.算术求解

方法一：假设替代笼子里面全是鸡或全是兔（即用鸡代替兔或用兔代替鸡）.分别是：鸡的只数为（94-35×2）÷（4-2）=23（只），或兔的只数为（35×4-94）÷（4-2）=12（只）.

方法二：画头配脚画35个圆圈表示35个头，为每个动物画两只腿，35只动物用完70只脚，还少用了94-70=24只脚.把少用的这24只脚要用完，就得给其中的12只动物各加2只脚，这12只就是兔子，另外的23只就是鸡.

方法三：列表枚举通过填表厘清鸡兔的只数和脚的数量之间的关系.

从列表可以看出：94只脚对应的是12只兔子和23只鸡.

除上述解法外，还有诸如北京特级教师周沛根的特异功能法，南京师范大学单墫的“半兔”法、金鸡独立法等等，其本质都是假设转化.不同的转化体现了不同的解决思路.

（二）“鸡兔同笼”问题的方程组解法

算术一旦进入代数领域，问题随即发生了质的变化.技巧性让位给求解的普遍性.同样的“鸡兔同笼”问题，采用代数的关键即字母代替数，设鸡为x只，兔子为y只，很容易列出

x+y=35，2x+4y=94.（1）

这就是二元一次（线性）方程组，也即“鸡兔同笼”问题的代数表示，目标是求出x和y.通过解方程组（1）得到：鸡（x）是23只，兔（y）是12只.把（1）式普遍化，贯彻数学符号化，可再写出

a11x+a12y=b1，a21x+a22y=b2.

（2）

于是，问题的提法变为：已知系数a11，a12，a21，a22以及b1和b2，解出x和y.采用消元法，易得

x=b1a22-b2a12a11a22-a12a21，y=b2a11-b1a21a11a22-a12a21.（3）

（三）“鸡兔同笼”问题方程组的行列式解法

由（3）式的运算规律性和对称性，抽出方程组中元（未知数）的系数引入了二阶行列式.

deta11a12a21a22=a11a22-a12a21.（4）

我们可以推广到n元情况.

二、“鸡兔同笼”到行列式展现的数学基本特点

（一）形象到抽象

抽取事物的本质属性，舍弃其非本质属性的思维过程就是抽象.“鸡兔同笼”问题取材于生产实践，是具体的、现实的、有意义的、极具趣味性和挑战性.从算术方法到方程组再到行列式求解过程中，引入元（x，y）的方程组，丢掉元而仅考虑系数的行列式;是一个从形象逐级到抽象的过程.而数感的建立、符号化语言的运用，使得数学语言越来越精炼、简洁，使得数学成为一门精确的科学.形象具体是数学的起源，抽象概括是数学的基本特点之一.正如华罗庚所说：“数学的特点是抽象.”

从具体实践出发，形象较低层次的思想方法经过抽象和概括，上升为抽象较高层次的思想方法，从而实现解决现实中和其他学科中的一些普遍的问题.达成了较高层次的抽象思维则对较低层次的形象具体实践的指导意义，从而来实现数学自身的运用价值.

（二）特殊到普遍

从已知的事实出发，进行逻辑的推理、证明和计算，这是数学的基本思维方式.在“鸡兔同笼”问题求解过程中，从假设替代法到列表枚举法、思维从无序到有序，从具体小数据的算术求解、到抽象的大数据一般性方程（组）求解，从具体问题的算术求解到普遍性问题方程求解;体现了从特殊问题求解到一般普遍性问题规律探讨的过程.

人类实践中涉及问题都要回归数学，从这个意义上讲数学解决的是具体的、特殊的一个个问题.数学作为一种思维的工具，为解决任何问题提供了普遍性的思维方法;作为最基本的最有哲理的学科，它是一种普遍性的科学语言，任何一门科学只有使用了数学，才称其为一门科学.从这个意义上讲数学又是普遍思维、普遍方法、普遍工具的科学.

（三）数学符号化

“鸡兔同笼”问题从算术解答到方程组解答，到引入行列式解答的过程中;整个分析，解题过程，都涉及代数假设，用字母代替未知数，与已知数参与运算，把题中的文字语言表述的已知条件，翻译成用符号化语言表述的方程，以及把字母看成已知数，并进行运算，进而达到求解的目的.这种用符号化的语言描述数学的内容，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，是数学表达和数学思考的重要的形式.正如英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑.”这都是数学符号化的體现.

数学符号化能概括出数量关系的一般规律，给数学理论的表述和论证带来的极大方便，同时用简洁明了的字母公式表示，便于记忆，便于运用，符号化同时有助于思维的发展.如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”.

数学符号化的思想培养应贯穿于数学学习的整个过程中，既要要理解和掌握数学符号的内涵和思想，又要养成问题符号化表达、运算、推理的习惯.

（四）最优化思想