迁移类化获灵感 活动探索得真知

袁乐

[摘   要]数学活动课能够有效帮助学生形成问题意识，学会数学思维，提升数学素养.教师在教学中应充分挖掘教材，设计和提炼优质有效的教学活动，让学生“做中学”“学中做”，从而获得真知，提升能力，发展思维.

[关键词]数学;活动课;实践

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0009-02

中学数学教育应促使学生学会用数学的眼光观察世界，从数学的角度发现和提出问题，探索和解决问题.教师应充分挖掘教材，多角度设计丰富的数学活动，让学生在活动探索中得到真知.

笔者从一道教材中的习题出发，提炼思考“求内角和”的新角度，并展开一节研究“多角形内角和”的数学活动课，将思考整理成文，与同仁交流.

一、基于课本，提出问题

在苏科版七年级第七章第5节《多边形的内角和与外角和》中，有这样一道课后习题引起了笔者的兴趣和思考.

如图1，S是六边形草地ABCDEF的边长.小明从点S出发，沿着它的边步行1周回到点S处，小明转过的角度总和是多少？这说明了什么？

这是一个有趣的“环形跑道”的模型.把多边形ABCDEF实体化成生活中常见的环形跑道A-B-C-D-E-F-A . 我们可以假设，在环形跑道内部有一个观测者，无论观测者面朝哪个方向，跑步者按照逆时针顺序跑完一圈，总是会从他面前经过一次. 因为在每个顶点处，跑步者身体轉过的角度，就是这个多边形一个外角的大小，所以利用这个模型，可以解决所有（凸）多边形外角和问题，都是需要跑一圈，外角和为定值360°.

对于（凸）多边形，显然内角和加外角和一共等于180° n，减去 “外角和360°”，则可以得到多边形内角和公式. 相较于课本上“分割转化成三角形而得多边形内角和公式”这种“静态”的研究视角，它显得更加“动态”，具有一定的趣味性和操作性.

能否利用这个全新的视角，去解决更加复杂的图形的内角和问题呢？

图2-1                   图2-2                    图2-3

二、明确定义，尝试探索

由于形如上述的图案在中学课本中没有明确的名称，为了叙述方便，不妨将这些图案称作“多角形”.它们可以看作是在同一平面内一条首尾相连的折线所组成的图形.

教师开展专项数学活动课《有趣的多角形》.

[课堂实录]

教师：你能求五角形、六角形和七角形的内角和吗？

学生充分交流，讨论思考.

学生1：可将五角形分割为三角形，利用三角形的外角定理，可以将要求解的五个角汇聚到同一个小三角形中，很容易得到五角形的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°.

学生2：通过分割，也可以将六角形和七角形转成熟悉的三角形、四边形，像这样计算（学生上台演示），得到六角形的内角和为360°，七角形的内角和为540°.

教师：如果是更加复杂的n角形，大家能计算它的内角和吗？有没有相应的内角和公式呢？

由于图形复杂，难度增大，学生无法解答，教室陷入沉默.

三、对比观察，小心求证

在思考和解决新的数学问题时，常常需要借鉴已经学过的知识和累积的经验结论，即所谓知识的迁移.

[课堂实录]

教师：不妨算一算熟悉的五边形、六边形、七边形的内角和，对比数据，或许会有一些发现.

学生计算整理得到表格：

[n n边形 n角形 5 540° 180° 6 720° 360° 7 900° 540° … … … 内角和 180°×（n-2） ]

学生对比数据，有以下三点发现：

1. 纵向对比，每增加一个边（角），其内角和都会增加180°;

2.横向对比，后者总是比前者少360°;

3.由于n边形的内角和为180° × （n-2）.则猜想：n角形的内角和为180° × （n-4）.

教师：大家观察分析得很好，这个猜想是否适用于所有的多角形呢？看来大胆猜想之后，就必须小心求证了.

四、追本溯源，迁移类化

由于（凸）多边形造型简单，对其内部分割成三角形十分简单，而多角形造型复杂，内部线条较多，显然不宜再画线分割.既然求“内角和”很难，不妨转换视角，从“外角和”入手！

[课堂实录]

教师：请大家回顾书本这道课后习题（本文开头所述），借助这种动态的研究“多边形外角和”的思路，你能仿照着去探索“多角形外角和”吗？

学生交流思考，举起手指，在空中比画环形跑道跑圈的过程.

教师：大家把五角形图案想象成一个五角形的环形跑道（图3）A-B-C-D-E-A，内部站立一个观测者，跑步者从点A出发再回到点A，跑了几圈呢？

图3

学生小组活动，伸出手指比画跑圈的过程.

学生1：我认为从A点出发沿着五角形的跑道再回到A点，应该是跑了一圈.

学生2：我认为是两圈，但说不清楚……

教师：让我们来一次实景重现吧！黑板上这个五角形图案就是跑道，中间放一块吸铁石就是观测者，手指尖就是跑步者，请一位同学上台模拟情境，放慢速度移动，大家仔细数一数，沿着环形跑道A-B-C-D-E-A究竟跑了几圈？

师生一起数，发现是两圈. 为了更加生动地感受“两圈”，教师再次带领学生举起胳膊，依照点的顺序，极其夸张地在空中比画画圈，当手臂挥舞越夸张，越能明确地感受到“两圈”.

这个过程十分有趣，学生会有很大的兴趣参与其中，这样“玩”数学，对初中学生来说十分新奇.

教师：再对比六边形的环形跑道和六角形的环形跑道（图4）A-B-C-D-E-F-A，分别需要跑几圈呢？

图4

学生活动操作发现：六角形跑道中，同样需要跑两圈.

类似的，如图2-3的七角形跑道，也是跑两圈.

通过三次对比，多角形的环形跑道总是比相应的多边形环形跑道多跑一圈，即意味着外角和增加360°.既然外角和多了，那么内角和自然就少了.这样就可以解释为什么一开始我们横向对比数据发现：当n相同时，n角形内角和总是比n边形内角和少360°.

学生根据“跑两圈”等价于“外角和为两个360°”，自然得出跑的圈数的多少直接决定着外角和的度数.掌握了这个方法，只要外角和能求出来，内角和自然用180°n减去外角和，即可得到多角形的内角和。

五、再探剖析，小结反思

[课堂实录]

教师：图5-1也是一个七角形，但它的内角和显然比图2-3要小.请再次利用“环形跑道”模型，算一算，这种七角形的内角和是多少.

学生活动后得出：跑步者需要跑三圈，可见其外角和是3个360°，则内角和=180°×7-360°×3=180°.

图5-1                                图5-2

小结：对于n角形，如果在各个顶点处的转弯方向一致（即总是顺时针或逆时针转角），回到起点时，若跑了m圈，则外角和= m 360°，内角和= n 180° - m 360°.

六、峰回路转，再探奇妙

[课堂实录]

教师：同学们仔细观察，图5-2也是一个七角形，你能求出它的外角和与内角和吗？借助今天的数学模型，在环形跑道各个顶点处的转弯方向一致吗？

学生交流讨论，发现这幅图的顶点处“转弯方向”不一致，无法套用今天发现的公式.

教师：今天我们借助一道课后习题的解题新视角“环形跑道”，进行了动态的研究. 在知识迁移和问题类化中探索了某一类多角形内角和问题，也得出了静态的规律和结论，但是关于“多角形”的研究这还只是冰山一角，希望同学们能继续探索，继续发现！

七、放手活动，精彩课堂

在本次活动课中，教师从一道教材中的习题入手，提出多角形内角和的问题.课堂中给予学生充分的时间交流探索，从动态的视角研究图形问题，激发学生的学习兴趣.在思考多角形问题一筹莫展的时候，引导学生温故知新，认准知识之间的衔接点，尝试从已经掌握的几种论证方法着手，探寻新思路.利用这种迁移类比进行教学，既符合学生的心理特征和认知规律，又有助于形成完整的認知结构，不但使得学生厘清了算理算法，思维也得到了发展，既掌握了知识，还培养了能力.学生在丰富的数学活动中，体会数学探索的乐趣.猜想、归纳、求证、推翻、再猜想、再归纳、再求证，这正是学习数学的巨大乐趣所在！

（责任编辑 黄桂坚）