分析高中数学数形结合的解题技巧

■张宇辉

引言：在高中数学中,存在很多的思想方法,而数形结合思想的运用非常广泛,数和形的充分结合,可以使一些复杂数学问题变得简单明了,简化解题过程,达到快速解答问题的目的。如在高中数学中,集合是非常重要的内容,同学们在解答过程中往往会因为理解不到位,而出现这样或那样的错误。再如函数问题,也充分体现了数形结合的思想。下面就从两个方面来阐述一下数形结合思想的好处。

一、借助数形结合思想，解决集合类型问题

在高中数学中,集合主要是用图形的形式呈现出来的,可以借助图形解决相关问题。

例如:已知在对农户的某一抽样调查中,拥有电冰箱的占49%,拥有电视机的占85%,拥有洗衣机的占44%,拥有两种电器以上的有63%,三种电器齐全的有25%,那么一种电器也没有的所占的比例为多少?

分析：在这道题目的解答过程中,就可以充分利用集合与韦恩图的知识,快速实现问题的解答。如图1所示,假设调查了100户,全集U={被调查的100户农户},A={100户中拥有电冰箱的农户},B={100户中拥有电视机的农户},C={100户中拥有洗衣机的农户},就可以得到三者都没有的农户所占的比例为10%,从而准确地求出答案。

图1

二、运用数形结合思想解决函数问题

函数是高中数学中非常重要的内容,是学习的重点,也是同学们面临的难点。在具体解答的过程中,需要考虑函数的相关性质,根据具体的情况开展相应的讨论。

例如:求抛物线y2=4x上到焦点F的距离与到点A(3,2)的距离之和最小的点P的坐标,并求这个最小值。

分析：猛一看题目,很多同学并不能一下子找到解题思路,这就需要仔细观察,想想抛物线的定义,借助数形结合思想来解决。P是抛物线y2=4x上的点,这是我们所知道的条件,利用学过的相关知识,可以过P作抛物线的准线l的垂线,垂足为D,连接PF(F为抛物线的焦点),由抛物线的定义可知:｜PF｜=｜PD｜,｜PA｜+｜PF｜=｜PA｜+｜PD｜。这时候,我们可以过点A作准线l的垂线,垂足为Q,我们可以很直观地看到,直线的长度明显小于折线的长度,这就和传统题目联系上了,直线必定过抛物线,抛物线上的点就是我们所求的点。直线AQ平行于x轴,且过A(3,2),所以其方程为y=2,代入y2=4x,得x=1。点P(1,2)与F、A的距离之和最小,最小距离为4。同学们先在草稿纸上画出草图,然后应用数形结合的思想进行分析,可以找到最佳的解决方法。

三、总结

数形结合的思想在高中数学中的运用是十分普遍的,可以充分锻炼同学们的发散思维能力和数形结合能力,所以同学们在学习的过程中,要充分拓展解题思路,不断探索,灵活运用好数形结合的思想。