英国A-LEVEL物理课程中的实验不确定度分析

蔡锦曦

(杭州育澜剑桥国际中心,浙江 杭州 310000)

近年来,国际学校和国际课程在我国各省市迅速发展,笔者自2008年开始进行英国A-LEVEL国际课程教学,在迄今10年的时间里,笔者一直在国际高中担任物理教师,使用英国的教材、利用英语进行授课、与外籍同事一起辅导学生参加由英国剑桥大学国际考试委员会(CIE)组织的全球统考,取得了优异的成绩,也积累了一定的教学经验．2013年笔者也曾赴英国利物浦嘉德中学(Calday Grange Grammar School)进行短期交流和学习,了解了A-LEVEL课程在英国本土的开设情况．在本文中笔者将就英国A-LEVEL物理课程中对实验不确定度分析的要求进行总结,以供国内物理教师参考．

1 误差与不确定度的区别

首先有必要对物理实验中两个常用的但又容易混淆的概念进行区别:误差与不确定度．

误差(Error)一般又称为测量误差,它导致测量值跟被测物理量的真实值之间存在差异．一般分为两类:系统误差(systematic error)和偶然误差(random error),详见表1.

表1

在人教版《物理》必修1中还提到了绝对误差和相对误差的概念,值得一提的是,从人教版教材所表达的意义来看,按照严格的国际规范,[1]这里的“误差”其实是另外一个概念——不确定度(uncertainty)．

一般来说,“误差”是导致测量值偏离真实值的因素,是一种“问题”(problem)．而不确定度是测量中多个测量值的实际范围,测量者会认为真实值就位于这个范围之内(The uncertainty is an actual range of values around a measurement, within which you expect the true value to lie[2]),所以不确定度有确切的数值和单位．

在A-Level物理课程中,不确定度被分为不确定度(actual uncertainty或absolute uncertainty)和相对不确定度(percentage uncertainty或fractional uncertainty)两类．

为了表示实验结果的准确程度,科学的表达形式为

实验结果=测量值±不确定度=x±Uc，其中x是测量值,Uc是不确定度．举例来说,如果某一长度的真实值是21.0 cm,而误差导致测量值为21.5 cm,那么由于真实值与测量值的偏离程度为0.5 cm,所以不确定度为±0.5 cm,这个测量结果应该被写作21.5±0.5 cm．但为了更好地表示测量结果的准确程度,又引入相对不确定度的概念:

教师的专业成长是教师从事教学工作时，通过有意识组织的各种活动，引导教师自我反省教学知识、技能及态度的过程，其目的在于促进教师教学效率最大化，完成教育目标，是教师在其教学生涯中不断追求个人专业知识、技能与态度等进步与发展的努力及意愿。立足课堂教学，利用各种形式的教学活动能使教师本身的专业知识、专业技能及专业态度有所改善，并在实际的教学工作中得到发展，进而促进个人意愿的自我实现。

2 不确定度与有效数字

在A-Level物理课程及考试中对有效数字的一致性(consistency)要求较为严格,对于物理测量中的测量值与不确定度的表达形式一般遵循以下两条规则: (1) 不确定度的数值中只能有一个非零的数字; (2) 测量值的最后一个有效数字与不确定度的非零数字应该在同一数字位上．举例说明如表2所示.

表2

从以上几例可以发现,不确定度的有效数字一般应为一个,实验结果的最后表达形式中测量值根据不确定度而定．

例1.一位学生通过测量算出声音在空气中的速度为327.66 m·s-1,该结果的相对不确定度为±3%,则以下哪一个结果的有效数字是正确的?

(A) 327.7 m·s-1. (B) 328 m·s-1.

(C) 330 m·s-1. (D) 300 m·s-1.

解析:首先算出不确定度=327.66×3%=±9.8298 m·s-1,根据第一条规则,必须将9.8298进行四舍五入变成10,这样它只有一个非零的数字“1”,于是结果可以写为327.66±10 m·s-1．根据第二条规则,由于不确定度的最后一位有效数字“1”(注意此时0为非有效数字)位于十位上,所以必须将327.66写作330,以保证有效数字位置的一致性,最后结果应写成330±10 m·s-1,或者(3.3±0.1)×102ms-1,所以正确选项为(C)．

3 不确定度的判定

在之前的例子中,由于知道真实值,所以不确定度可以很容易地被计算出来,但在实际测量中往往真实值是无法得知的,这时候就必须要通过一定的方法来确定不确定度的大小．必须指出,在近8年的A-Level教学中,笔者研究和参考了众多的教材、教辅书籍和考试试卷及评分标准,这些资料对于不确定度的判定标准都不太一致,几乎没有一本书能给出非常确切的准则,甚至有一些是基于经验法则,考虑到科学测量的多样性和复杂性,这也可以理解,不过由于缺乏统一的标准,确实给教师和学生带来了一定的困惑．以下试讨论几种笔者总结出来的常见情况．

(2) 单次测量数据，根据仪器标准差确定不确定度.

(3) 在某些难度较大的测量中,由于系统误差较大,对不确定度的估计要适当放大．

图1

例如,使用精度为0.015的秒表来测量参加100m跑的运动员的成绩,考虑到测量者按表的反应时间,测量误差的增大会导致不确定度的增大．

又如,在2013年5月剑桥大学A-Level实验考试(Paper 33)中,考生被要求测量一个放置在不透明轨道中的小球的底部到实验桌面的高度h(如图1)．虽然使用的刻度尺的精度是1 mm,但是由于小球的下半部分在轨道里无法被看到,所以难以准确确定小球底部的位置,在此情况下要适当放大测量误差,如2-5 mm．然后估算不确定度.

4 间接量不确定度的确定

在物理实验中经过测量得到的直接物理量具有不确定度,所以由后续计算得到的间接物理量当然也有不确定度,一般分两种情况来讨论．

(1) 经过加减运算得到的物理量,其不确定度由被加减的物理量的不确定度相加而得．如表3.

表3

(2) 经过乘除运算得到的物理量,其相对不确定度由被乘除的物理量的相对不确定度相加而得．如表4.

表4

例3.在某次实验中,一个遥控小车用了2.50±0.05 s的时间通过了40.0±0.1 m的距离,则小车的平均速度和不确定度为多少?

(A) 16±1 m·s-1.

(B) 16.0±0.2 m·s-1.

(C) 16.0±0.4 m·s-1.

(D) 16.00±0.36 m·s-1.

5 利用图像计算不确定度

在A-Level物理课程中还可以利用图像来计算不确定度,一般要求A2阶段(相当于国内的高三年级)的学生掌握,以下举例说明．

在研究胡克定律的实验中,某学生测量弹簧伸长量与所挂钩码重力的关系,得到以下6组数据(表5).

表5

图2