深度濡染游戏精神智性探究数学本真——以“2、5、3 的倍数的特征”教学为例

◇刘爱东

“2、5、3 的倍数的特征”这部分内容，人教版和苏教版教材都安排在五年级下册进行教学，而且不约而同地都选择借助百数表， 引导学生在表中依次圈出相应数的倍数， 在直观操作和观察中发现规律，归纳特征，进而得出判断2、5、3 的倍数的特征的方法。然而，通过课后调查，我们发现，这种通过不完全归纳得出的结论，对学生而言，解决了“是什么”的问题，而涉及数学本质的、更深层次的“为什么”，还是无从谈起。我们借助人教版教材“你知道吗”（判断 2、5、3 倍数特征的道理）进行了拓展教学，努力让学生达成“愉悦性地体悟、理解性地学习、深层次地提升”，有效激发探究乐趣，感悟学习魅力。

一、游戏导入，基于旧知生发新问题

师：我们已经学习了2、5、3 的倍数的特征，在研究新问题之前，我们先一起玩一个游戏，比一比，看谁反应快。

依次出示：

下面哪些数是5 的倍数？5 的倍数的特征是怎样的？ 825 258 1258 12580

下面哪些数是3 的倍数？3 的倍数的特征是怎样的？ 825 258 1258 12580

学生争抢着回答，随着学生的回答，出示：判断一个数是不是5 的倍数：只看个位， 个位上是5 或0 的数，一定是5 的倍数。

判断一个数是不是3 的倍数：各位上数的和是3 的倍数的数，一定是3 的倍数。

师：是不是5 的倍数只要看个位，是不是3的倍数要看各位上数的和， 这个我们已经很熟悉了，但如果再深入地追问一下，为什么判断是不是5 的倍数，只要看个位就行了，而3 的倍数却要看全部的数位呢？今天，我们就一起来研究这个问题。

设计意图：让学生在喜闻乐见的游戏活动中，润物无声地唤醒“2、5、3 的倍数的特征”这一已有经验， 并在对这一特征追问的过程中产生新的、直指数学本质的问题，推进思维向更深处漫溯。

二、活动导学，深究表象背后的本质

（一）探究思考，明晰5和2的倍数特征的本质。

1.思考交流，初探本质。

师：请同学们拿出活动单，先独立完成活动一，再在小组内交流。

?

学生一边完成活动一边思考，再组内交流。全班交流第1 题。对于（3），一个学生这样回答。

生：第一种方法，是把各个数位上的数字分开来乘（位值），第二种方法只是把个位上的数和不是个位上的数分开来乘。不管是乘10，还是乘100，只要不是个位上的数都是5 的倍数，所以只要分成个位上的数和不是个位上的数，判断时只要看个位上的数就可以了。

2.借物析理，直观理解。

师：说得太精彩了！但从同学们的目光中看得出，一些同学还有疑问。我们顺着她的思路，一起来捋一捋。

师：这里的 1 是 5 的倍数吗？（生：是）这倒奇怪了，1 怎么可能是5 的倍数呢？

生：因为 1 在十位上，表示 1 个 10，而 10 是5 的倍数。

课件演示：10 个珠子，5 个一份 5 个一份，正好分完。

师：（在计数器的十位上拨2 个珠子）现在是不是5 的倍数？为什么？

生：是 5 的倍数，因为 1 个 10 是 5 的倍数，2个10 也是5 的倍数。

师：我不让你们看到怎么拨，只告诉你们我在计数器的十位上又拨了1 个数，现在还是不是5 的倍数？能说说道理吗？

生：还是5 的倍数，因为每个10 都是5 的倍数，所以不管十位上拨几，都是5 的倍数。

师：我在百位上任意拨几个呢？为什么？

生：还是5 的倍数，因为100 是5 的倍数，所以不管有几个百，都是5 的倍数。

生：以此类推，千位、万位不管是几，也都是5 的倍数。

师：说得真好！所以，我们在判断时，只要看哪一位就可以了？（生：个位）现在再看215，谁来说说，它能不能被5 整除，只要看它的个位，其他数位不用看的道理？

生：因为其他数位上的数都是5 的倍数，所以只要看个位。 如果个位上的数是5 的倍数，那么这个数也一定是5 的倍数；如果个位上的数不是5 的倍数，这个数也一定不是5 的倍数。

3.类推整理，建构模型。

师：你能根据这个道理，说一说，“4136 是不是5 的倍数”为什么只要看个位？

根据学生回答，板书：

设计意图：学生在教师提供的活动单、屏幕演示分珠子、计数器不同数位上拨珠子等学习素材的引导下，通过演绎推理，建构出按不同数位分段比较的数学模型，深刻阐释了“判断5 的倍数只看个位上的数”的内在道理。

4.类比迁移，联通道理。

师：5 的道理明白了，想想看，谁和它的道理是一样的？为什么？

生：2。因为同样可以分成个位上的数和不是个位上的数，十位上，10 里面有5 个2，百位上，100 里面有 50 个 2，千位上，1000 里面有 500 个2，所以十位、百位、千位都不用看，只要看个位就可以了。

（二）深化模型，探析3的倍数特征的本质。

1.反思总结，内化经验。

师：5 和 2 的道理明白了，但是 3 呢，为什么不能只看个位？

生：因为十位上的数不一定是3 的倍数，比如 10 就不是 3 的倍数，10 个珠子，3 个一份 3 个一份，最后还剩1 个。百位上、千位上的数也一样，都不一定是3 的倍数。

师：这就产生了第二个要研究的问题，判断一个数是不是3 的倍数，为什么不能只看个位上的数，而是要看各位上的数的和？你打算怎么研究？

生：像刚才那样，先举例子，再分一分，从中寻找规律。

2.深入探析，还原本质。

师：真棒！会用刚才的方法探究了。看活动二，先独立思考，再小组交流。

?

生：12 中有 1 个十和 2 个 一 ，1 个 十 就是10，把 10 拆分，3 个 3 个地分还剩 1 个，1 和 2 合起来是 3，这个 3 又是 3 的倍数，所以 12 是 3 的倍数。

随学生回答，屏幕演示：10 个珠子，3 个 3 个地分，分成3 份，最下面剩下1 个。

师：(板书：1+2=3)1 加 2 中的 1 跟 12 中十位上的1 一样吗？这个1 是怎么来的？

生：不一样，十位上的1 表示10，而这个 1是10 除以3 之后得到的余数，10 个珠子3 个3个地分还剩下1 个。

师：加2 是什么意思？

生：个位上的2 没有分，所以把十位上分剩下的1 和它合在一起继续分。

师：42 会判断吗？

生：42 分成 4 个十和 2 个一，也就是 42=4×10+2。每个 10，3 个 3 个地分后都会余下 1，余下的 4 个 1 加上个位上的 2 等于 6，6 是 3 的倍数，所以42 是3 的倍数。

师：4 个1 里面不是还可以拿走一个3？为什么没有拿走，而是直接用4 加呢？

生：如果不拿走，可以把这个4 和十位上的4 对应着看，计算起来很简便。

生：我有补充，可以把 4×10 写成 4×9+4，4个9 一定是3 的倍数，余下的4 加上 2 等于 6，6是3 的倍数，所以42 是3 的倍数。

师：我们把你的想法整理一下。

师：通过讨论，我们有了新认识，那4126 又该怎么办呢？

……

师：说得真好！你能仿照刚才的板书，把你的想法用式子表示出来吗？

学生板书：

（三）抽象提升，形成解决问题的策略。

师：虽然2、5、3 的倍数的特征看上去不同，但如果仔细观察它们的推理过程，你能发现它们的相通之处吗？

生：它们都是先按数位一位一位地分拆，再根据是几的倍数，每一位都分别除以几，最后从余数中寻找规律，解决问题。

三、总结延伸，激发课后探究源动力

师：总结得很到位。课后，同学们可以尝试运用自己发现的方法，去找一找4 的倍数的特征、8的倍数的特征，等等，你们一定会有更多新的发现。

小编有话说：本课教学的前提是“对于几个数的和来说，如果其中的每一个数都是某个数的倍数，那么它们的和也一定是这个数的倍数”。对此，可以事先设置准备课或在本课的开头设置一个环节，引导学生通过举例（包括正例和反例）、归纳，得出这个结论。