高中数学中条件最值的求法探究

辽宁省盘锦市辽东湾实验高级中学 赵盼盼

条件最值是指在某些约束条件下的最值。在大学数学中，对于多元函数在约束条件下的最大（小）值，常用拉格朗日乘数法，先求条件极值，再具体判断该条件极值是否是所求的条件最值。在高中数学中，学生并未学习到拉格朗日乘数法，但这并不表示某些条件最值在高中阶段不能解答。下面通过例题介绍条件最值在高中数学中常用的解题方法。

【总结】 本题是把求最值的函数进行变形，然后利用常数代换。常数代换时对条件又进行了简单变形，目的是使乘积为定值。

例2 若正数x，y满足x+4y=xy，求x+y的最小值。

故此函数的最小值是9。

故此函数的最小值是9。

【总结】 解法一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求最值；解法二是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，将条件最值转化为无条件最值，然后代入代数式转化为函数的最值求解。

解：因为x＞0，y＞0，所以，当且仅当x=3y时等号成立。

设x+3y=t＞0，则t2+12t-108 ≥0，所以（t-6）（t+18）≥0，

又因为t＞0，则t≥6。故当x=3，y=1 时，x+3y的最小值是6。

【总结】 本题中是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解。

本文通过例题讲解了在高中数学中求条件最值的三种方法，其中，均值不等式起到了很大的作用。应用均值不等式时，一定要注意不等式成立的条件“一正、二定、三相等”。在求解条件最值问题时，掌握有效的变形技巧，可以培养学生的数学能力。