高温作业的热传导与有限差分求解

杨云霞

山西工程技术学院， 山西 阳泉 045000

1 高温作业专业服装设计问题

高温作用专用服装一般由三层织物材料构成，分别记为第I、II、III层，第I层与外界环境接触，第III层与皮肤之间有一定空隙，该空隙记为IV层.为了设计高温作用专用服装，现将37 ℃(保持不变)的假人放置在高温实验室中，测量假人皮肤外侧的温度.下面我们利用数学模型[1，2]来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决下面两个问题：

(1)给出专用服装材料的一些参数值(表1)，设环境温度为75 ℃、第II层和第IV层厚度分别为6 mm和5 mm，工作时间为90 min.通过实验，测量得到了假人皮肤外侧的温度.建立数学模型[3，4]，计算温度分布.

表1 专用服装材料的参数值Tab.1 The parameter value of special clothing material

(2)设环境温度为65 ℃，第IV层的厚度为5.5 mm，确定第II层的最优厚度，同时要保证工作60 min时，假人皮肤外侧温度不能超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过5 min.

2 问题分析

将高温作用专业服装设计问题化简为图1.设织物材料I层、II层、III层、IV层的厚度分别为Li(i=I、II、III、IV)，则上述两个问题可简化成下面的数学问题[5]：

(1)已知T(x<0,t)=75 ℃，LII=6 mm和LIV=5.5 mm；根据假人皮肤外侧的温度可知T(x=x4,t),其中，0 min

(2)已知T(x<0,t)=65 ℃，LIV=5.5 mm.求T(x4,t<60 min)≤47 ℃ 且T(x4,t<55 min)≤44 ℃的L2最小值.

图1 一维平面内热传导示意图，其中 dummy(假人)层表示假人皮肤到体内的厚度
Fig.1 Heat conduction in a one-dimensional plane,The dummy layer is the thickness of the dummy skin to the body

3 模型建立

3.1 一维热传导问题与有限差分求解

高温作业专用服装设计的问题实质为一维的热传导问题，一维无热源热传导方程[6]是

(1)

其中，t表示时间，ρ表示密度，cp为比热，k为热传导率，x表示一维空间坐标.在一维空间中，密度、比热和热传导率在时间上都是常数，则(1)式可化简为

(2)

α称为热扩散系数.

为了解决空间温度随时间的变化T(x,t)，我们用有限差分法求解T(x,t).因此我们先对空间和时间进行离散化，再求解离散点上的温度，下图2为离散后的节点示意图.

(3)

图2 有限差分的空间和时间节点示意图
Fig.2 Schematic diagram of finite difference space and time nodes

(4)

则(1)式可化为

(5)

由(5)式可得n时间步和n+1时间步温度场的关系.由此关系，如果知道n时间步的温度场，则可求得n+1时间步的温度场.

3.2 热阻

热阻[7]是指在有温度差的情形下，物体抵抗传热的能力.导热率越好的物体，热阻通常会比较低.热阻可定义为

(6)

其中,q表示热流，R表示热阻.热传导率与热阻的关系可表示为

(7)

I、 II、III、IV四层总热阻为

(8)

流过任意截面的热流相等，因此可求得

(9)

4 问题的求解

4.1 问题1的求解

首先根据表1的数据定义相关参数.

rho=[300,862,74.2,1.18];% [kg/m3] 密度cp=[1377,2100,1726,1005];% [J/kg/K] 比 热k=[0.082, 0.370, 0.045, 0.028];%[W/m/K] 热传导率L=[0.6,6.0,3.6,5.0];%[mm]厚度xL=cumsum(L)[x1, x2, x3, x4]%[mm]材料层接面位置,即图1中的 [x1, x2, x3, x4]mm2m =1e-3;% 将 mm 转为 m 的系数

再定义有限差分的空间和时间的网络节点信息.

dx=0.3;%[mm]空间网格尺寸xmax = sum(L);%[mm]模拟区域尺寸x=0:dx:xmax;% [mm]网格节点坐标nx=length(x);% 节点数目ind=round(cumsum(L)/dx);% 不同材料层间的交接点序号dt=4e-4;%[s]时间步长tmax = 90∗60;%[s]最大仿真时间t=0:dt:tmax;%[s]时间节点nt=length(t);%时间节点数

cfl=dt/(dx∗mm2m)2./rho./cp; % 注意这里 dx∗mm2m 是dx转为以 m 为单位的长度[～,～,id]=histcounts(x,cumsum([0,L]));% 找出每个节点所属的层kx=k(id);%[m2/s]每个节点所属层的热传导率cflx=cfl(id);%每个节点所属层的 cfl

利用有限差分法解决一维平面的热传导问题，MATLAB[8]编程可获得稳态时的温度分布数值解(图3)和不同时刻的温度分布(图4).

图3 有限差分得到的稳态时的温度分布数值解
Fig.3 The numerical solution of steady-state temperature distribution obtained by finite difference method

4.2 问题2的求解

问题2实际所求为假人皮肤表面的温度，即T(xIV,t).假人体内温度控制在37 ℃，由此可得边界条件为：

T(x=0,t)=65 ℃T(x=xd,t)=37 ℃

(10)

问题中没有给出假人的皮厚Ld(即皮肤外侧到体内的距离)、密度、比热和导热系数等信息.如果这些信息是已知的，那么在第一问中，若将右侧边界设置为T(x=xd,t)=37 ℃，则可以通过有限差分计算得到不同时刻假人皮肤表面的温度T(x=xIV,t),我们可以根据该条件猜测假人的一些关键信息.

假设假人是由均匀统一的材，因此我们可以求出假人的热阻.在问题1最终稳态下，T(x=xIV)=48.08,而T(x=xd)=37.由热阻定义可知：

(11)

由(9)通过MATLAB编程可求出q，Rd的解.解得Rd=0.116 1.

我们假设假人的皮厚L4=2 mm，该假设对结果没有什么影响，如果假人皮厚，热传导率就小，反之，热传导率就大，但最终隔热效果是一样的.为了计算需指定一个厚度，然后便可求得热传导率.由此可得热传导率

图4 不同时刻的空间温度分布(动态图)Fig.4 Spatial temperature distribution at different times (dynamic diagram)

kd=0.086 1

从而可以绘制出假人的最终温度分布图(图5).

图5 由热阻理论得到的稳态时的温度分布理论解
Fig.5 The theoretical solution of steady-state temperature distribution obtained from thermal resistance theory

由于假人的比热cpd和密度ρd均未知，但在计算中，我们只需知道两者的乘积，这里不妨假设假人的密度是ρd=1 000 kg/m3(同真人密度接近).接下来根据问题1来确定假人的比热cpd，我们采用二分法求假人的比热cpd.实质上就是不断的猜想，直到猜出的cpd能够获得假人皮肤表面温度的数据.具体步骤如下：

1.初始设置cpdmax=3000,cpdmin=1000；

2.cpd=(cpdmax+cpdmin)/2，如果计算得到的T(xIV,t)总体小于假人皮肤表面温度的数据，那么cpdmax<-cpd，反之cpdmin<-cpd；

3.若cpdmax-cpdmin>1，则跳到2，否则停止，并返回cpd=(cpdmax+cpdmin)/2 .

MATLAB编程求得cpd=1 415.

根据假人的相关信息，下面我们可以求解最优厚度，由表1可知，0.6

1.假设Liimin=0.6,Liimax=25；

2.Lii=(Liimin+Liimax)/2，如果计算得到的T(x=xIV,t=60)>47或T(x=xIV,t=55)>44，说明我们求得的厚度比较小，则Liimin<-Lii，否则Liimax<- Lii；

3.如果Liimax-Liimin>0.1，则跳到2，否则停止，同时返回Lii=Liimax、，此时的Lii为第II层的最优厚度.

MATLAB编程求得第II层的最优厚度12.23 mm.

5 结束语

文章是在给定的一些假设和条件下，将实际问题化为数学问题，建立数学模型，利用MATLAB编程，解决了高温作用专业服装设计的问题，其结果可以供服装设计者参考，使设计高温作业服装降低研发成本，缩短研发周期.我们在整个求解过程中只考虑了热传导，事实上热传递还有两种：热辐射和空气对流.由于第Ⅳ层的厚度很小，对于后面两种的影响几乎可以忽略不计，但是，既然存在，多少都会对结果有一些影响.另外，也有一些影响因素没有考虑到，导致计算的结果可能会与事实产生了一定的偏差.