数学课，带着数学思想去思考

高虹 溧阳市戴埠中心小学

苏教版数学教材把数学学习分成了《数与代数》、《图形与几何》、《统计与概率》和《综合与实践》这样四个模块，因此，重点我将分别从前面两个板块摘选一些题型，具体谈谈数学思想在五年级教材里的巧用。

其一，《用字母表示数》延展了对具体数的理解，也有助于快速简便地表示已知条件和所求问题。它的学习为研究《方程》作铺垫，也是初中代数式学习的引子。但《字母表示数》的抽象性需要学生依据现实情境理清数量关系，进而掌握含有字母式子的意义。比如说，书本用两道进阶例题：

第一题作为导入题，四年级运算律学习让学生初步感知字母表示规律简洁美。初学时学生不易理解字母表示的数的不确定性，也不容易理解含有字母的式子能表示数量关系。因此，教学时特别注意逐步引导，让学生在多个具体实例中体会并发现三角形个数和小棒根数之间的关系，让学生经历由具体到抽象的思维活动，在直观的情境中形象地揭示数量关系。

第二题的规律找寻难度增加。学生经历动手摆小棒、再讨论交流的过程，在操作、思考中发现：（1）每次增加一个三角形；（2）每增加一个三角形就多用两根小棒。运用上一题思考规律：摆1个三角形用3根小棒，增加1个三角形后，用小棒的根数是：3+2×1；提问：你会像这样有规律地说出增加2个、3个三角形后小棒的总根数吗？讨论得出：增加2个三角形后，小棒的根数是：3+2×2；增加3个三角形后，小棒的根数是：3+2×3；提问：增加25个，98个，200个……这样的三角形后，你能一下子列出算式，并说出一共用的小棒总根数吗？

含有字母式子的产生过程，离不开聪明的大脑，需要我们积累丰富的数学知识经验、扎实的数学学习基础和一颗不断进取迎难而上的决心。

其二，“转化”策略通常使用在不能直接解决的问题上：“把未知变成已知”。比如：计算小数乘法时把小数乘法转化成整数乘法；比较异分母大小时利用通分先将异分母分数转化成同分母分数；推导平行四边形面积公式时把平行四边形转化成长方形；推导圆的面积公式时把圆转化成长方形。现在，我想把转化策略的使用范畴稍作整理：

(一)遇到不规则图形时，我们可以利用平移、旋转、剪拼的方法把不规则图形转化成规则图形来计算，这样的转化思想叫“化曲为直”。

遇到连续或者有规律变化的自然数相加时，可以借助梯形的面积公式来计算；从1开始，连续奇数相加时，既可以按照梯形面积来算，也能观察图形特点，它其实还是正方形的面积。这样的转化思想便是“数形结合”。

将一个装满了铅笔的铅笔架（如图），可以联系梯形面积公式：计算出铅笔的支数，再结合上面的计算想一想，下面10个连续自然数的和，怎样计算比较简便15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24

对于（1）式：借助图形“求阴影想空白”是种简洁直观的方法。但为了建立（1）（2）两式的联系，更深刻地品读“数学味”，可以拓展“拆项求和”“做加想减”的方法，让优秀学生的思维进一步发展。

（1） 式每一个加数的分母依次是前一个分母的两倍，求这样几个加数的和，可以引导学生把加式中的每一个分数拆分成由此：

（2） 式每一个加数的分母也满足某种规律，需要学生结合平时做题经验，联系《异分母分数减法》中当分母是连续自然数的两个分数单位相减的规律：因而，

（三）整体思想在具体几何图形里的表现：

（1）下图中两个涂色正方形的周长的和是40厘米，求整个图形的面积。

（2）下图，涂色部分是正方形，你能求出图中最大长方形的周长吗？

求图（1）周长：学生想到要知道大正方形的面积，提出“大正方形”，便激活了思路，大正方形的边长是两个小正方形边长之和。根据已知条件：两个小正方形的周长之和是40cm，使用字母表示边长与周长间的关系，将代数思想充分融入课堂。不妨假设小正方形边长为acm,较大正方形的边长为bcm，得出：a+b=10,这里的a+b恰好表示大正方形的边长，大正方形的面积便是10×10=100(cm2)。课上也有学生指出：通过图形平移，分别将两个小正方形的四条边平移，便可以将小正方形的周长之和40cm转化成大正方形的周长40cm,转化思路在数学中发生。

同样的思路，题（2）可否行得通？课上让学生依据上一题的思路思考，发现图形变换好像行不通，大的长方形是由几个小长方形和一个正方形组成的，不难设正方形的边长为acm,小长方形的长、右边小长方形的宽与正方形的边长acm各不相等，则可设左边小长方形的长为bcm,右边小长方形的宽为ccm。a+b=27、a+c=19,由方程思想可以知道：两个方程解不出3个未知数，但时整体代换得到：大长方形的周长是(a+b+c+a)×2=2(2a+b+c)

因为a+b+c+a=27+19,即2a+b+c=46，所以大长方形的周长是46×2=92(cm2)。

像这样求周长和面积却不能直接求解时，我们需要依据已知条件，建立已知条件与所求问题之间的联系，利用“整体代入”思想、“化未知为已知”解决问题的方法就是整体思想在现阶段数学学习中的渗透。

数学思考蕴藏在每一次的课堂教学中，从教材出发，每一位学生都是引发数学思考的源泉。辩证对待教材习题的编排，立足教材，以生为本，从数学的角度，挖掘数学学习的无穷联系，建立数学阶段学习的知识框架，以数促学，由数及学，用数学思想解释数学问题，感受数学的专业和严谨，让学生真正在理性的数学环境下学习数学。