基于改进EEMD算法的桥梁结构响应信号模态分解研究

陈永高，钟振宇,2

(1.浙江工业职业技术学院，浙江 绍兴 312000；2.浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058)

随着实际桥梁结构的不断运营，其自身会发生一定的损伤。目前，常在桥梁结构上配置一套健康监测系统[1]，通过布置在结构上的传感器采集其振动响应信号，再通过分析响应信号来掌握结构是否处于正常的运营状态。但在实际工程中，由于桥梁结构所处的外界环境一般较为复杂，以致健康监测系统会受到各种干扰因素的影响，导致采集的响应信号中含有一定的噪声[2]。基于此，需对响应信号进行降噪处理，以便最大化地消除噪声带来的影响。

就信号的降噪处理算法而言，国内外有很多降噪算法，大体上可将这些降噪算法[3]归为三类：时域法、频域法和时频域法。时域降噪法是指：直接对实测信号进行数学运算，而无需考虑该实测信号是否存在一定的规律性。频域降噪方法是指：先将实测信号从时域信号转换到频域信号，再依据信号与噪声之间存在的频谱差异性来去除噪声，进而保留有用信号频谱，最后再将该频谱还原为时域信号。时频分析方法是指：将实测信号分别展开到时域和频域两个空间上，以分析实测信号的时域特征和频域特征。

本文将首先分析桥梁响应信号的基本特征[4],以选取最佳的降噪算法，其次针对该算法存在的弊端提出解决算法，最后将改进算法运用于信号分解，对比分析所得结果以验证算法的可行性。

1 信号分解算法的筛选

在对桥梁响应信号进行降噪处理之前需了解其存在的基本特征，以便能选择最佳的降噪算法。其基本特征包括：①Huang等[5]指出的非线性；②非平稳性[6]—在时域和频域上均会随着时间的推移而发生一定的变化，即信号的可预测性较差；③时变性—桥梁结构自身的特性会发生变化；④低频性—主要是指桥梁结构自身的固有频率较低，以致其响应信号对应的频率值也低。

根据桥梁响应信号的基本特征，并结合现有的三大类降噪算法，可知时频分析方法能够更加有效地分析桥梁响应信号的时频特性。目前，时频分析法中常用的有小波(包)类和经验模态分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)，其中小波(包)方法存在小波基和分解尺度的选择问题，EMD是一种自适应分解方法，但其依然存在端点效应和模态混叠。针对EMD的弊端，Wu等[7]提出了集成经验模式分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition,EEMD)。但随着该降噪算法的普及，其缺陷也逐渐凸显，虽然已有不少学者对其进行了改进，但模态混叠现象依然存在，同时有效IMF分量筛选需人为参与。基于此，本文针对这两方面的问题提出了相应的解决算法，以便能更好地对桥梁响应信号进行降噪处理。

2 模态混叠现象的避免

2.1 模态混叠现象

模态混叠现象是指本征模态函数(Intrinsic Mode Functions,IMF)间存在相近的特征时间尺度；该现象的存在会导致后续的时频分布混淆[8]。究其主要原因如下：

(1)信号内部含有噪声，导致极值点的分布发生了变化；

(2)信号内部含有一定的高频的、间断性的弱信号；

(3)信号的组成分量比较接近，即组合分量对应的频率值比较接近。

导致该现象发生的根本原因是模态分解不满足全局正交性，只有保证信号在模态分解的过程中始终保证所得结果间满足正交性。鉴于此，可通过引入多元统计学中的“解相关算法”[9]，同时为了进一步避免模态混叠现象可引入“谱系聚类”[10]。

2.2 解相关算法

解相关算法的基本原理是通过计算向量x和向量y之间的相关程度Cxy，并通过相关程度的大小来辨识两向量之间是否满足正交性。相关程度的计算式为

Cxy=E{(x-ηx)(y-ηy)}=E{xy}-E{x}E{y}
ηx=E{x}
ηy=E{y}

(1)

当Cxy=0时，表明向量x和向量y并不相关，由于不相关和正交具有等价性，所以两向量x和满足y正交性。

当Cxy≠0时，表明两向量不满足正交性，此时则需要根据Cxy的数值大小来判定是否需要进行“解相关处理”。肖瑛等的研究中指出，当Cxy∈[0.1,1]时则应利用式(2)将相关部分ry(n)从x(n)中剔除，以得到与y(n)不相关的部分。

v(n)=x(n)-ry(n)

(2)

算法流程如下：

步骤1 信号EMD分解

EMD处理待分解信号x(t)，仅需分解得到前两个IMF分量IMFi(i=1,2)；

步骤2 求解IMF1分量

求解IMF1和IMF2间的相关程度，计算式如下

(3)

(2)当r12∈[0,0.1]时，表明所得IMF1为所求第一个IMF分量；

步骤3 剩余IMF分量求解

根据步骤2的算法流程依次求得剩余的所有IMF分量。

2.3 谱系聚类算法的运用

为进一步保证所得IMF分量中任意两个分量间不存在模态混叠现象。鉴于此，可引入“谱系聚类”来解决这一问题，以下将详细介绍如何在信号分解过程中嵌入该算法。

为了将谱系聚类与EEMD分解算法进行有效结合，应先分析EEMD分解算法的基本流程，流程图见图1。根据图1可知：

(1)IMFj的求解是直接对IMFij(i=1,2,…,n)求平均，虽然解相关处理能够保证同一列的相邻两分量间不存在模态混叠，却难以保证同一行的N个IMFij(i=1,2,…，N)间不发生混叠现象；

(2)同一列的n-1个IMFij(j=1,2,…,n-1)也可能发生混叠现象。

图1 EEMD流程图Fig.1 Flow-chart of EEMD

将谱系聚类算法嵌入到分解过程中，思路如下：

(1)为保证图1中同一列的n-1个IMFij(j=1,2,…,n-1)间不存在混叠现象，可在每次信号EMD分解完之后利用谱系聚类辨识所得IMF分量，当分量间存在混叠现象时，则需要重新计算该组分量，直到所得分量间不存在混叠现象；

(2)在对同一行的N个IMFij(i=1,2,…，N)进行求平均值之前，可通过谱系聚类算法辨识这些IMF分量间是否存在混叠现象。假如当IMFn1和IMFn2发生混叠时，需重新对信号添加N次白噪声进行模态分解。

以下将详细介绍谱系聚类算法的具体实现步骤：

步骤1 求解分量间的欧式距离

鉴于“欧式距离”能够描述二维和三维空间中点点之间的实际距离，所以本文采用谱系聚类中的欧式距离定义向量xi和向量xj之间的距离d(xi,xj)，该距离满足如下条件：

(1)d(xi,xj)≥0,且d(xi,xj)=0⟺xi=xj

(2)d(xi,xj)=d(xj,xi)

(3)d(xi,xj)≤d(xi,xk)+d(xk,xj)

(4)

基于上述原理，可利用式(5)计算IMFi和IMFj之间的欧式距离dij

(5)

步骤2 模态混叠现象的辨识

基于步骤1可计算出任意两IMF分量间的欧式距离，并绘制欧式距离图，见图2。辨识两分量间是否存在模态混叠需确定聚类的阀值Nn。通过多次试验，提出可利用式(6)计算该阀值。

Nn=(dmax-dmin)×0.6
dmax=max(dij)
dmin=min(dij)

(6)

图2 欧式距离图Fig.2 Euclidean distance chart

步骤3 谱系聚类算法的嵌入

分解过程中引入“解相关算法”和“谱系聚类算法”，流程图如图3所示。

图3 改进EEMD流程图Fig.3 Flow-chart of improved EEMD

3 智能化筛选有效IMF分量

针对如何筛选有效IMF分量，已有不少学者对其进行了深入的研究。

(1)林丽等[11]通过计算各IMF分量与原始信号之间的相关系数来选取有效分量，该算法的缺点在于，由于原始信号内部一般含有噪声，导致求解出的相关系数不具代表性；

(2)张雪等[12]通过计算各IMF分量含有的信息熵来对IMF分量进行区分，该方法的缺陷在于难以定义高频成分与低频成分的分界点；

(3)陈仁祥等[13]通过计算各IMF分量自身的能量密度和平均周期来筛选有效分量；该方法的缺陷在于，信号内部噪声的大小会在一定程度上影响能量密度的计算，以致最终筛选的有效IMF分量并不可信。

上述作者在筛选有效IMF分量时仅利用了一种算法，以致筛选的结果可能会存在偏差。鉴于此，可采用数学建模中的“线性加权算法”以相关程度、信息熵、能量密度以及平均周期为因子构建新的筛选指标。

3.1 相关程度的计算

考虑到原始信号x(t)和IMFi(i=1,2,…,n)均为矢量，所以采用夹角余弦来定义彼此之间的相似性度量Ri，计算式为

(7)

式中：m为单个矢量的序列长度值。

3.2 信息熵的计算

(3)确定原始信号的总采样点数N以及IMFi(t)落在第i个区间的个数为mi，计算IMFi(t)落在第i个区间的概率P=mi/N，再利用式(8)求解IMFi(i=1,2,…,n)对应的信息熵XSi。

(8)

3.3 能量密度和平均周期的计算

(1)定义IMFi对应的能量密度为Ei，平均周期为Ti，两者的乘积为ETi，计算式为

(9)

式中:l为原始信号总测点数；Fi为IMFi对应的振幅值；Ji为IMFi对应的极值点个数。

(2)计算能量系数Xi

(10)

①Xi越大，则该IMFi为高频成分的几率越大，反之亦然；

②当Xi>2Xi-1时，即IMFi能量系数相比IMFi-1成倍的增加，此时便认定IMFk(k=1,2,…,i-1)为高频分量。

3.4 线性加权算法的运用

为了实现有效IMF分量的智能化筛选，引入了数学建模中的“线性加权算法”，该算法并不是第一次被运用到桥梁结构相关计算中。周勇军等[14]用来计算冲击系数；赵绍东[15]用来进行桥梁评估。本文将利用其筛选有效IMF分量，步骤如下：

步骤1 为了避免因量纲的不同带来的影响，在对IMFi对应的Ri,XSi以及Xi进行线性加权之前，对XSi和Xi分别进行归一化处理

(11)

步骤2 鉴于三项指标具有相同的重要性，将各项指标对应的权重值均取为1/3，利用式(12)构建新指标-有效系数YXi

(12)

YXi的取值大小问题，尚未有学者对其进行研究。仅有少量学者对类似系数进行定义。林旭泽等[16]选取0.9为有效分量的阀值；陈仁祥等[17]认为相关系数大于0.7时即可。综合上述分析，本文将有效系数的阀值取为0.8。最后对所有的有效IMF分量进行重组得到重构信号x′(t)。

4 有效IMF分量的验证

就所得有效IMF分量是否具有可靠性，还需进一步的验证。现阶段，常用的验证指标包括信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)，用于表示信号与噪声能量大小的关系；标准误差(Standard Error,SE)，用于表示重构信号与原始信号在数据方面的差异性，该值越小代表重构信号的去噪效果越好；相关系数(Correlation Coefficient,R )，一般用于描述重构信号与原始信号在形状方面的差异性。各指标的计算公式为

(13)

5 仿真信号试验验证

仿真信号采用正弦信号、余弦信号以及噪声组成。其中正弦信号对应的频率为1 Hz和5 Hz；余弦信号的频率为2 Hz；噪声对应的均值为0，方差为1，且含噪水平约为15%。模拟信号的时间曲线方程为

x(t)=8sin(10πt+2π/3)+5cos(4πt+π/3)+
1.5sin(2πt)+15rand

信号持续时间为10 s，采样频率为100 Hz，即采样点数为1 000。叠加信号及各信号对应的时程曲线见图4。

图4 信号时程曲线图Fig.4 Time-step curves of signal

5.1 模态混叠处理效果

分别运用改进EEMD算法与EEMD算法对仿真信号进行模态分解，图5是为各IMF分量时程图；图6为欧式距离图。对比分析图6可得如下结论：

(1)根据式(6)求EEMD和改进EEMD对应的聚类阀值分别为5.4和4.5；

(2)EEMD分解结果中IMF5和IMF6间发生了混叠现象，即两分量间含有一定的相似信息；改进EEMD分解结果中，各IMF分量均独立，无模态混叠现象发生。

图5 模态分解结果Fig.5 Modal decomposition results

(a)欧式距离图(EEMD)

(b)欧式距离图(改进EEMD)

图6 欧式距离图
Fig.6 Euclidean distance chart

5.2 相关程度的计算

为验证所提算法分解得到的IMF分量与原始信号中的叠加信号更为接近，求得两分解算法所得各分量与仿真信号中各叠加信号间的相关系数，结果见表1和表2。可得结论：

(1)仅根据相关系数选择有效分量，则EEMD仅能筛选出IMF2，该分量仅能反映叠加信号中的5 Hz；

(2)改进EEMD分解结果中仅IMF3为有效IMF分量，该分量仅能代表叠加信号中的5 Hz信号。

可见仅利用相关系数进行有效IMF分量的筛选，则可能会遗漏部分有效IMF分量。

表1 相关系数表(EEMD)Tab.1 Table of the correlation coefficient(EEMD)

表2 相关系数表(改进EEMD)Tab.2 Table of the correlation coefficient (improved EEMD)

5.3 有效IMF分量的智能化辨识

求解出两种分解算法所得IMF分量对应的相关系数、信息熵以及能量系数，并基于3.4节所提算法计算用于筛选有效IMF分量的有效系数，结果见表3和表4。分析表中数据可知：

(1)EEMD分解结果中的有效IMF分量分别是IMF2,IMF4和IMF5；

(2)改进EEMD分解结果中的有效IMF分量分别是IMF3,IMF4和IMF5；

(3)本文算法能有效避免人为参与有效IMF分量的筛选，且结果具有可靠性。

利用式(13)分别计算两种分解算法所得重构信号对应的信噪比、相关系数以及均方误差，结果见表5。

表3 有效系数(改进EEMD)Tab.3 Effective coefficient (improved EEMD)

表4 有效系数(EEMD)Tab.4 Effective coefficient (EEMD)

表5 去噪效果评价指标Tab.5 Evaluation of noise removal results

根据表5可知，本文算法得到的重构信号，其内部的有效信号所占比重更大；与原始信号更接近。

6 斜拉桥响应信号验证

为验证所提算法能运用于实际桥梁结构信号，以下将分别利用两种分解算法对环境激励下的桥梁结构响应信号进行模态分解，并对比分析所得结果。该桥梁为双塔索面斜拉桥，跨径布置为(2×100+300+1 088+300+2×100)m，主梁上共布置14个竖向加速度传感器，见图7所示。采样频率为20 Hz，图8是1号传感器于白天12点左右采集的加速度响应信号对应的时程图，采样点数为4 000，即采样时间为200 s。

图7 加速度传感器布置图Fig.7 Acceleration sensor arrangement

图8 加速度响应信号时程图Fig.8 Time-distance chart of acceleration response signal

以前1 000个测点对应的响应信号为研究对象，分别运用所提算法和EEMD对其进行模态分解，结果见图9。图10为两分解结果各IMF分量对应的欧式距离图，根据图10可知，EEMD分解所得IMF分量间有模态混叠现象，其中IMF1与IMF2间发生了混叠现象，同时IMF4与IMF5间也发生了混叠现象。

对两种分解算法所得IMF分量进行有效IMF分量的智能化筛选，并重构信号，图11为两重构信号对应的Hilbert-Huang谱图。图中瞬时频率颜色的深浅与该频率成分能量大小相关，能量越大颜色越深。根据该图可知，相比EEMD所得结果，本文算法得到的有效IMF分量对应各阶频率的能量更高，即本文算法能更好地保留原始信号中的有效成分。

图9 模态分解结果Fig.9 Modal decomposition results

图10 欧式距离图Fig.10 Euclidean distance chart

图11 Hilbert-Huang谱Fig.11 Hilbert-Huang spectrum

7 结 论

针对EEMD算法存在的弊端，本文提出了相应的改进算法，并将所提算法运用于仿真信号和实测桥梁振动信号，结果表明：

(1)为避免模态混叠现象的产生，可在信号分解过程中引入“解相关处理”和“谱系聚类”来有效地保证所得IMF分量间满足全局正交性。

(2)为实现有效IMF分量的筛选，可以利用能量密度、平均周期、相关程度以及信息熵为因子，并结合多元统计学中的“线性加权算法”来构建新的筛选指标，结果表明所提筛选算法具有可靠性。

(3)本文算法不仅能运用于仿真信号，还能运用于实际桥梁响应信号中，且分解效果较现有EEMD算法而言更好。