磁悬浮球形飞轮不平衡振动前馈抑制与实验

刘 强，尹兆京，吴 波，任 元，辛朝军，樊亚洪

(1.北京石油化工学院 精密电磁装备与先进测量技术研究所，北京 102617；2.航天工程大学 航天装备系，北京 101416；3.北京控制工程研究所，北京 100190)

机械飞轮存在固有的摩擦磨损、机械振动、黏滞力矩等缺点，是航天器平台振动干扰源之一[1-2]。磁悬浮飞轮采用无接触磁悬浮支承技术，消除了机械摩擦磨损，无需润滑，且具有主动振动控制和振动抑制功能，能够满足航天器平台高力矩精度和微振动的需求[3]。现有磁悬浮飞轮的磁极气隙均为柱壳状、薄壁状或锥壳状，转子偏转前后，气隙形状发生改变，导致转子磁极表面磁密不均匀，磁力分布成一定梯度，产生磁拉偏负力矩，影响了飞轮悬浮精度和控制精度。磁悬浮球形飞轮采用球面磁轴承支承，转子在平衡位置偏转前后，定、转子间的磁极球壳气隙形状不会改变，消除了磁拉偏负力矩，提高了偏转悬浮精度和控制精度[4]。

由于实际加工装配误差和材料质量分布不均等原因，转子存在一定的不平衡量，高速旋转时，会引起转子较大振动，降低转子悬浮精度。针对磁悬浮转子不平衡振动，国内外许多学者对其进行了研究。韩邦成等针对两端径向支承的磁悬浮控制力矩陀螺，考虑质心偏离旋转轴(与几何轴重合)引起的离心力，建立转子力学干扰模型，并对不同相位偏心距下的转子运动轨迹进行仿真和实验研究。基于此干扰模型，宋腾等采用变极性LMS反馈不平衡补偿法，对高速电机磁悬浮转子不平衡振动进行抑制。在文献[5-6]的基础上，文献[7]以磁悬浮反作用飞轮为对象，同时考虑不平衡质量矩引起的轴承动反力和质心偏离旋转轴引起的离心力，对转子运动轨迹进行仿真和实验。文献[8]在文献[7]所述干扰模型基础上，采用前馈抑制方法，对两种干扰引起的不平衡振动进行前馈抑制。文献[5-8]所研究的磁悬浮转子旋转轴均不过质心，而质心偏离旋转轴会引起干扰离心力。为消除离心力对转子的干扰，文献[9]使转子旋转轴过质心，仅考虑不平衡质量矩引起的轴承动反力，采用GPM自适应控制法，对磁悬浮控制力矩陀螺转子不平衡振动进行抑制。基于此干扰模型，文献[10]采用复数陷波滤波器和自适应补偿方法，对不平衡振动进行抑制。

为消除磁悬浮球形飞轮因转子偏转或者平动造成的气隙不均匀而引起的磁拉偏负力矩，将转子绕几何中心旋转(过球心)，要求定子球心与转子球心重合。由于转子质量分布不均，转子球心与转子质心存在一定偏离，高速旋转时会引起轴承动反力和离心力。此外，球形转子所受的电磁悬浮力始终垂直磁极球面并指向球心，质心与球心的偏移也会引起偏转负力矩。本文在文献[5-10]的基础上，建立磁轴承-转子动力学模型，分析了不平衡质量矩、离心力、偏转负力矩这三种干扰对转子的影响，并对三种干扰进行前馈抑制仿真和实验验证。

1 转子结构及其工作原理

本文所研究的磁悬浮球形飞轮结构如图1所示，主要包括上/中/下陀螺房(提供真空密封环境)、径/轴向位移传感器(检测转子平动位移和偏转角度)、飞轮转子(提供转速8 000 r/min，角动量15 N·ms)、电机(维持转子转动)、径/轴向磁轴承(控制转子径/轴向平动)和洛伦兹力磁轴承(控制转子偏转)，具体结构与工作原理在文献[11-13]中已做详细介绍。为消除平动悬浮对偏转悬浮的干扰，径/轴向磁轴承的磁极面均为球面，当转子球心与定子球心重合时，转子偏转前后，球壳气隙形状不会发生改变，即消除了磁拉偏负力矩。根据F=NBIL(I为线圈电流，B为磁通密度，L为线圈等效长度，N为线圈匝数)可知，洛伦兹力磁轴承线性度好，控制精度高，可用于转子偏转悬浮[14-15]。为确保转子上三个分离球面(内转轴上/下球面，外转盘外圆球面)共球心，考虑其加工工艺，将其分为内转轴和外转盘两部分，通过调心环调整质心位置使转子质心与球心重合。

图1 磁悬浮球形飞轮结构示意图Fig.1 Construction of magnetic bearing spherical flywheel

2 磁轴承-转子模型

建立磁轴承-转子动力学模型，需要作出以下假设：①系统为线性时不变系统；②不考虑高速旋转状态下球形转子变形；③径/轴向平动各通道内的磁轴承功放及控制性能相同；④不考虑重力对系统的作用；⑤不考虑外界对系统的干扰。

磁轴承-转子系统坐标系定义如图2所示。图2中：O(坐标系原点)为转子球心；OI为转子质心；坐标系Z轴与转子几何轴(旋转轴)重合；按右手定则定义X轴和Y轴；ω为转子转速；α和β分别为转子绕X轴和Y轴的偏转角；lr和la分别为轴向位移传感器到转子坐标系原点O的径/轴向距离；R为洛伦兹力磁轴承线圈安装半径；lan，lbn分别为转子两端配重面到XOY面的距离；fx，fy，fz和Px，Py分别为磁轴承作用在转子球心O上的合力和合力矩；Fl为洛伦兹力磁轴承单个绕组产生的悬浮力。

图2 转子动力学模型Fig.2 Dynamics model of rotor

由牛顿第二定律和陀螺技术方程，可得转子的动力学方程为

(1)

式(1)写成矩阵形式为

(2)

其中，

式中：M，q，G，F分别为质量阵、广义坐标、陀螺阵和广义力；m为转子质量；Jx，Jy和Jz分别为转子绕X，Y和Z轴的转动惯量。以F为输入量，q为输出量，可将转子的传递函数写成

G0(s)=(Ms2+Gs)-1

(3)

转子各悬浮通道电磁力经线性化可得

(4)

式(4)写成矩阵形式为

Fm=Khqm+Kii

(5)

式中：Fm=[fxpyfypxfz]T为磁轴承作用在转子上的电磁力和力矩；Kh=diag(khx0khy0khz)和Ki=diag(kixkiβkiykiαkiz)分别为磁轴承位移刚度阵和电流刚度阵；qm=[xmβmymαmzm]T为磁轴承坐标系下转子位移；I=[ixiβiyiαiz]T为磁轴承控制电流阵。分散PID控制律作用下的磁轴承控制电流为

(6)

式中：Ks、Kw分别为传感器放大系数阵和功率放大系数阵；KP、KI、KD分别为比例、积分、微分系数阵；qs=[xsβsysαszs]T为传感器坐标位置。磁轴承坐标系与转子坐标系重合，传感器坐标系与转子坐标系间的变换矩阵Ts为

Ts=diag(cos(π/4)1 sin(π/4)1 1)

(7)

式中：θ为位移传感器与径向磁轴承在圆周方向的夹角，θ=45°。通过坐标变换可得

(8)

3 干扰模型

当且仅当磁悬浮球形飞轮定、转子球心重合时，转子偏转前后球壳气隙形状保持不变，从而消除磁拉偏负力矩。在此前提下，存在以下三大干扰：①实际球形转子因制造装配误差，存在一定量不平衡质量矩，引起轴承动反力[16-17]；②转子质量分布不均，导致转子质心偏离几何轴(与旋转轴重合，且过转子球心)，产生离心力[18-19]；③转子质心与球心存在偏离，导致转子所受电磁悬浮力(始终垂直磁极表面指向球心)存在绕质心的偏转负力矩。

3.1 不平衡质量矩引起的轴承动反力

设转子A端配重面内有不平衡质量矩ga=mar(ma为A端不平衡质量，r为配重半径)，忽略外界干扰力，基于达朗伯原理和刘强等研究中不平衡质量矩引起的动反力模型，可得转子五个悬浮控制通道力学方程为

(9)

式中：Fax，Fay，Faz分别为X，Y，Z轴的轴承动反力；Fgx，Fgy分别为惯性力在X，Y轴的分量；Fagax，Fagay分别为A端不平衡质量矩引起的惯性力在X，Y轴的分量；Mgx，Mgy分别为惯性力对固结于飞轮赤道平面内X，Y轴的惯性力偶矩。

由于飞轮转子为关于惯性轴对称结构，惯性力为零(Fgx=Fgy=0)，所以转子A端的轴承动反力为

(10)

同理可得转子B端的轴承动反力为

(11)

3.2 转子质心与球心偏离引起的偏转负力矩

由于转子质心与转子球心存在一定的偏离量e(e=exi+eyj+ezk，ex，ey和ez分别为e在X，Y和Z轴上的分量)，转子所受电磁悬浮力(始终指向球心，不过质心)产生偏转负力矩Pd可表示为

(12)

3.3 转子质心偏离几何轴引起的离心力

球形转子质心与转子几何轴(旋转轴)之间存在一定的径向偏离量，高速旋转时，会产生较大的离心力Fu，其表达式为

(13)

4 不平衡质量前馈控制与仿真

4.1 控制器模型

考虑不平衡质量矩、离心力和偏转负力矩对磁轴承-球形转子系统的干扰，得到三种干扰作用下的转子控制方框图，如图3实线部分所示，系统主要参数如表1所示。转子质心偏离几何轴引起的离心力Fu作用在反馈回路中，不平衡质量矩引起的动反力(Fa与Fb)和转子质心偏离转子球心引起的偏转负力矩Pd以干扰形式出现。三种干扰的前馈补偿环节如图3虚线部分所示，Gf(s)，Gu(s)，Gp(s)分别为不平衡质量矩、离心力、偏转负力矩的前馈传递矩阵，其表达式分别为

(14)

图3 加入前馈环节的系统控制框图Fig.3 Control diagram with feedforward compensation

表1 转子系统参数Tab.1 Parameters of rotor system

4.2 仿 真

仿真分析时，转子动平衡精度等级为G1，转子质量m=5.7 kg，转子转速n=8 000 r/min(小于一阶临界转速172 860 r/min)，则磁轴承-转子系统允许的偏心距δ为

(15)

两配重面内允许的不平衡质量矩Gm为

Gm=me/2≈3.39 g·mm

(16)

基于上述数学模型和控制框图，对三种干扰进行前馈抑制仿真，结果如图4所示。由文献[7-10]可知，转子经动平衡实验后，转子两端的不平衡质量矩为同一量级，且处于对角位置附近(相位差约为180°)。前馈抑制仿真时，设定转子两端的不平衡质量矩均为3.39 g·mm，相位差为180°，偏心距e在X，Y，Z轴三个方向上的分量相等均为0.69 μm。如图4(a)所示，仅对转子不平衡质量矩进行前馈抑制时，转子径/轴向振幅从13.8 μm和21.6 μm分别衰减至7.4 μm和11.3 μm。仅对离心力进行前馈抑制可发现，转子径/轴向振幅分别降至10.5 μm和18.3 μm，如图4(b)所示。从图4(c)可看出，单独对偏转负力矩进行前馈补偿时，转子径/轴向振幅分别减小至7.2 μm和11.2 μm。显然，控制系统增加的前馈环节，使磁轴承转子获得了额外的补偿力矩，抵消干扰力矩，从而使振幅减小，表现出良好的控制效果。

在三种干扰的前馈环节共同作用下的仿真结果如图5(a)所示。在0.2 s加入不平衡质量矩前馈抑制，转子径/轴向振幅从最初的13.8 μm和21.6 μm分别降为7.4 μm和11.3 μm，降幅约为46%。在此基础上，于0.4 s加入离心力前馈抑制环节，转子径/轴向振幅继续降至5.8 μm和9.1 μm，降幅约为20%。最后，在0.6 s加入偏转负力矩前馈抑制环节，转子径/轴向振幅最终分别降至3.3 μm和5.6 μm，减小了40%左右，比三种干扰抑制前减少75%左右。三种干扰依次叠加作用之后，前馈抑制下转子几何轴的运动轨迹如图5(b)所示。显然，三种前馈环节的共同作用大幅度降低了转子径/轴向振幅，从而可提高系统运行的稳定性。

图4 三种干扰单独进行前馈抑制效果Fig.4 Single suppression effectiveness of three interferences

图5 三种干扰共同进行前馈抑制效果Fig.5 Co-suppression effectiveness of three interferences

5 实 验

以本课题组研制的15 N·ms磁悬浮球形飞轮为研究对象，对本文提出的前馈抑制方法进行实验研究，实验系统如图6(a)所示。在线动/静平衡实验后，转子两端配重面内不平衡质量矩分别为1.43 g·mm和1.33 g·mm，相位差为162°，转子质心与球心的径/轴向偏离量分别为45 μm和40 μm。在额定转速8 000 r/min和真空度≤15 Pa的条件下，对磁悬浮转子振动进行前馈抑制，并利用数字储存示波器对转子的位移信号进行采集，结果如图6(b)和图6(c)所示。前馈抑制环节加入前，由于三种干扰的存在，致使转子径/轴向振幅较大，约为19.9 μm和25.4 μm。在0.2 s加入不平衡质量矩前馈抑制环节，转子径/轴向振幅分别降至14.4 μm和19.6 μm，降幅约为25%。在0.4 s继续加入离心力前馈抑制环节，转子径/轴向振幅降至11.7 μm和15.8 μm，降幅约为19%。最后在0.6 s加入偏转负力矩前馈抑制环节，转子径/轴向振幅最终分别降至6.6 μm和8.9 μm，降幅约为43%。对三种干扰进行前馈抑制后，转子振幅比前馈抑制前，降低了66%，略低于仿真抑制降幅75%。由于转子两端配重面内不平衡质量矩处于非对称位置(为162°)，导致转子几何轴实际运行轨迹(见图6(c))与仿真轨迹(见图5(b))存在差异。此外，实际磁轴承-转子系统的电机干扰和各通道设备性能的差异也对实验结果造成一定的影响。

图6 实验结果Fig.6 Experimental results

6 结 论

本文以15 N·ms磁悬浮球形飞轮为研究对象，建立其磁轴承-转子系统动力学模型，考虑转子不平衡质量矩引起的轴承动反力、转子质心偏离几何轴引起的离心力和转子质心偏离转子球心引起的偏转负力矩三种干扰，并对三种干扰进行前馈抑制仿真实验。结果表明，转子两配重面内不平衡质量矩大小相等且相位差为180°，转速为8 000 r/min时，转子径/轴向振幅从13.8 μm和21.6 μm降至3.3 μm和5.6 μm，降幅为75%左右。实验结果与仿真结果具有很好的一致性，表明本文所提出的前馈抑制方法能够有效抑制转子不平衡振动。