颗粒材料中声波的超传递现象

崔建国，杨天智,2，陈立群,3

(1.上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2.天津大学 机械工程学院，天津 300072；3.上海大学 理学院，上海 200444)

电子二极管的出现揭开了电器时代的序幕。如今，电子二极管已经成为我们生活中不可或缺的一部分。受其启发，对其它载体的单向操控研究开始受到重视。光二极管和热二极管的研究应运而生[1-4]。声波在自然界和生活中是非常常见的能量载体。因而，研究声波的单向操控将具有重要的意义和价值。例如，利用声单向传递的特点可以减少两个方向声波之间的干扰，实现更清晰的声波信号。这种整流效果，对提高声波的无损探测，医学高精度成像等具有很大的应用前景[5]。

在线性声学领域中，声波在同一介质中的传递具有互易性，即声波在两个相反方向传播具有相同的传播特征。因此，如果设计一个具备声单向传递特点的系统，该系统必然是不对称的。为实现声波的单向传递，研究者们进行了很多的设计研究[6-10]。南京大学程建春课题组将声子晶体与非线性声学媒介组合，设计了具备声波单向传递特征的系统。Narisetti等[11]利用摄动法预测了一维非线性周期结构中波的传递特性。此外，Boechler等[12-16]对声波在颗粒周期结构的传播进行了大量的研究。Geniet等[17]研究了非线性链中能量的传递，并发现在能量-声波幅值图中随着幅值的增大能量发生了突变的现象，他们将其命名为非线性超传递现象(Nonlinear Supratransmission)。之后，研究者又对这种现象进行了进一步地研究[18-21]。通过对非线性超传递现象的研究，我们意识到可以配置系统左右两端不同的激励幅值来实现声波的单向传递现象。

本文将球颗粒链作为研究载体，对非线性超传递现象进行了研究，并发现一些有趣的现象。发现了不同的条件下存在不同的动力学特性。实现了颗粒材料中响应可调控单向传递。

1 模型与运动方程

为研究振动幅值对声波单向传递的影响，我们建立了一个一维的球颗粒链模型。其中，球颗粒间的接触方式为Hertz接触[22]，它是一种完全弹性接触模式，能很好地描述实际接触时的情形。模型图如图1所示。

图1 球颗粒链模型图Fig.1 Schematic of the granular chains

为方便描述，我们给每个小球进行编号(见图1)，球颗粒从左向右对应的编号分别为1～N。对第i个球颗粒运用哈密顿原理，我们可以得到一个二阶微分方程为

(1)

式中：ηi为第i个球颗粒的形变量。当ηi>0时，ηi-1=δ+ui-1-ui；当ηi≤0时，ηi=0。另外，式(1)中i的取值范围为2～N-1。ui为球颗粒偏离初始平衡位置的位移。考虑首尾球颗粒特殊的边界条件，在起始端施加一个声波激励，在末端施加一个定常力F0。因而，首尾的方程分别为

(2)

式中：当ηi>0时，η0=δact+Bcos(2πft)-u1；反之ηi=0。本文采用谐波激励的方式模拟振动形态，Bcos(2πft)为激励项，B为激励幅值，f为激励频率。在式(1)和式(2)中

(3)

式中：p和pact分别为球-球Hertz接触和球-面Hertz接触中的系数。文中E为球颗粒的弹性模量；R为半径；υ为泊松比；m为质量；δact和δ为球颗粒的初始形变，可以用式(4)中的Hertz接触法则计算。

δ=(F0/p)2/3

(4)

2 数值计算

2.1 计算方法及参数选定

运用Runge-Kutta法对颗粒链系统进行了数值模拟，并对颗粒链的非线性超传递现象进行了研究。在数值模拟中我们选用铅球作为模拟材料，因其固有频率较低可以降低计算中的频率大小，故而可以适当增大步长，节约计算时间。铅球的参数为，球颗粒数目N=50，弹性模量E=17×109Pa，泊松比υ=0.42，半径R=0.02 m，密度ρ=11.34×103kg/m3。另外，定常力F0=8 N。则，球颗粒的初变形δ0=3.23×10-6m。

2.2 计算结果与分析

2.2.1 颗粒链超传递研究

图2 颗粒链频谱图Fig.2 Frequency spectrum of granular chains

从图2可知，频率自然分割成三个区域，对比电学领域中超传递现象的研究[24]，我们将其定义为下禁带(Lower Forbidden Band)，通带(Pass Band)和上禁带(Upper Forbidden Band)。简而言之，超传递的产生与激励频率有关，处于下禁带和上禁带的频率发生超传递较为困难，处于通带内的频率具有良好的超传递现象产生。

我们在这三个不同区域内分别选取了三个频率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)对声波在颗粒材料中的超传递现象做进一步研究。首先，我们数值模拟计算出三个频率下平均动能(速度均方值)-激励幅值-球颗粒编号的三维关系图，如图3(100 Hz)、图4(990 Hz)和图5(1 800 Hz)所示。

频率处于下禁带区域(见图3)时，我们发现，能量在周期链中呈周期分布的特点，并且每个球颗粒的响应随激励幅值的变化没有发生突变现象，即没有发生非线性超传递现象。频率处于通带(见图4)时，在小激励幅值(小于0.04δ0)下系统能量在周期链中有周期分布的特点，但当激励幅值增大到一定值(0.05δ0)后，能量在颗粒链中近似均匀分布，并且系统能量发生突变，产生了超传递现象。对图5进行分析，我们可以发现频率处于上禁带时，在小激励幅值(小于0.09δ0)下周期颗粒链两端的能量较小，而随着激励幅值继续增大，除起始端的球颗粒外，其余颗粒的能量响应极小，能量在周期链中被耗散。

图3 下禁带(100 Hz)三维图Fig.3 3D plot for the lower forbidden band (100 Hz)

图4 通带(990 Hz)三维图Fig.4 3D plot for the pass band (990 Hz)

图5 上禁带(1 800 Hz)三维图Fig.5 3D plot for the upper forbidden band (1 800 Hz)

我们选取三个不同频率下球颗粒链首尾两端球颗粒的响应，将其放置在同一个坐标系下，得到如图6所示的能量-激励幅值图。从图6可知，当频率处于下禁带时，颗粒链首尾两端小球(编号1和50)的能量响应基本一致，且没有发生超传递现象；当频率处于通带时，颗粒链首尾两端小球均有超传递现象发生；当频率处于上禁带时，颗粒链起始端能量响应与下禁带相似，但末端小球的能量响应随着激励幅值的增大出现一个急剧下降的趋势，能量在颗粒链中发生被耗散的现象，与超传递现象恰好相反。

图6 不同频率下的能量-激励幅值图Fig.6 Energy level as a function of the driving amplitude

2.2.2 声波的非对称传递

通过对周期颗粒链的研究，我们发现当声波频率处于某些频率范围内时，颗粒链系统会产生超传递现象。因其对声波幅值的敏感性，我们又进一步研究了声波振动在周期颗粒链中的非对称传递，探讨运用改变声波振动幅值的方式，实现声波的非对称传递。我们知道频率的改变会使声波信号发生改变甚至丢失，因此通过改变幅值实现声的非对称传递能更好地使信号保真。

前述可知系统对三个不同频带内激励声波的响应表现出不同的动力学行为。因而，我们分别选择了三个激励频率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)，对颗粒链进行时域响应分析。并且，分别选取0.05δ0(L)和0.02δ0(R)(幅值分别在超传递临界幅值前后)作为正向激励和反向激励的幅值，得到三个不同的位移和速度响应时域图，如图7、图8和图9所示。

图7 下禁带(100 Hz)时域图Fig.7 The time response for the lower forbidden band (100 Hz)

图8 通带(990 Hz)时域图Fig.8 The time response for the pass band (990 Hz)

图9 上禁带(1 800 Hz)时域图Fig.9 The time response for the upper forbidden band (1 800 Hz)

图7为激励声波频率为100 Hz(下禁带Lower Forbidden Band)时声波激励从左侧传递至右侧末端小球(L，编号50)和从右侧传递至左侧末端小球(R，编号1)的位移响应和速度响应图。从图7可知，在正向激励幅值为反向激励幅值2.5倍的情况下，小球(编号50和编号1)的位移响应也处于同一倍数下，而速度响应基本一致，因而没有表现出不对称传递的现象。图8为激励声波频率990 Hz(通带Pass Band)时的位移响应和速度响应。从图8可知，正向传递的位移和速度响应均远远大于反向传递的响应，产生了明显的不对称现象。图9为激励声波频率1 800 Hz(上禁带Upper Forbidden Band)时的位移响应和速度响应。显然，此时的正向传递和反向传递的位移和速度响应基本一致，没有表现出不对称传递的现象。

另外，我们又分别对声波在三个频率下的非对称传递现象，做能量响应分析，如图10所示。从图10可知，忽略掉激励幅值原有大小的差异，声波频率在100 Hz和1 800 Hz时正向传递和反向传递的能量响应基本处于同一水平，而频率在990 Hz时正向传递的能量经过一段时间后有一个突然增大的过程，系统表现出单向传递的特点。对比不同频率下的能量响应大小，易知声波频率在通带(990 Hz)时系统的响应远远大于下禁带(100 Hz)和上禁带(1 800 Hz)时的响应。这表明声波在颗粒材料中传播时，处于不同频带范围内的频率表现出了截然不同的特征。进一步地说明了我们将频率分为下禁带，通带和上禁带的合理性。

图10 不同频率下的能量变化时域图Fig.10 Energy response of the chain at different frequencies

3 结 论

本文运用数值计算的方法对含50个球颗粒的周期链进行了超传递方面的研究，并发现了一些有趣的现象。

(1)对颗粒链进行频谱分析时，发现频率自然分割成下禁带，通带和上禁带三个部分。激励声波频率在下禁带时振动能量在颗粒链中呈现周期分布的特点；激励声波频率在上禁带时振动能量在颗粒链中被耗散；而激励声波频率在通带内时系统响应在颗粒链中表现出超传递现象的特点。

(2)我们研究了激励声波在不同频带范围内时，不同激励幅值下，声波在颗粒链中的传递特点，得到了三种不同的传递特征；并且频率处于通带范围内时，声波在颗粒链中发生了单向传递的现象。