地震动频谱特性及与隔震结构损伤相关性研究

杜永峰，王亚龙，李 虎，方登甲，时 晨

(1.兰州理工大学 防震减灾研究所，兰州 730050；2.兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，兰州 730050)

Keywords:average frequency;modal frequency;spectral characteristics;damage index;frequency matching degree of Fourier spectral intensity；magnification factor of pseudo-resonance

地震动具有很大的随机性，而且每条地震动记录都有其独特性，其中，地震动的频谱特性就是其重要的特性之一，它反映了地震动各频率成份对应的简谐运动组成方式的不同，与结构的破坏方式及破坏程度直接相关。如1962年的墨西哥地震，在离震中距200～300 km的墨西哥市，记录地震动峰值加速度仅为0.05g，却造成了非常严重的震害[1]。

地震动频谱特性按照定义方式可以分为基于反应谱定义的频谱特性参数和基于地震动本身定义的频谱特性参数[2-6]。目前，常以5%阻尼比加速度反应谱卓越频率反映地震动频谱特性。对于傅里叶幅值谱许多学者做了研究，虽能体现地震动时程中所有频率特征，但还没有从中提取能准确代表地震动频率成份的稳定值[7-9]。Sucuoglu等[10]认为地震动峰值加速度与地震动速度峰值的比值(Peak Ground Velocity/Peak Ground Acceleration,PGA/PGV)可代表一定的频谱特性。潘毅等[11]基于PGA/PGV值的变化分析了频谱特性对基础隔震结构响应的影响。Rathje等[12]定义了地震动的平均周期，并用306条强震记录进行了验证。沈绍建等[13]用加速度反应谱平均周期表征频谱特性，分析了频谱特性对结构非线性地震响应的影响。徐菁菁[14]将具有复杂频谱特性的真实地震动简化成激励周期各异的简谐激励，分析了结构的损伤演化规律。

应当指出的是，目前关于地震动频谱特性的描述尚不统一，不同描述得到的地震动频谱特性与结构损伤的相关性不同，解决地震动频谱特性与结构损伤的相关性问题，将有助于研究隔震结构在地震作用下的动力鲁棒性问题。因此，本文根据笔者团队在所做幅频相关性规律研究的基础上[15]，提出了一种体现地震动频谱特性的Fourier谱强度频率匹配度指标，综合考虑该指标和结构振型影响提出了类共振放大系数，运用Perform-3D进行建模分析，探讨了结构整体损伤指数与类共振放大系数的相关性。

1 Fourier谱强度频率匹配度概念及公式

1.1 地震动平均频率

参考Rathje等的研究对平均周期的定义方式，考虑地震动整体频谱特征频率参数，定义平均频率为

(1)

式中：f*为地震动平均频率；fi为0.25～20 Hz的离散频率点；Ci为频率点fi对应的离散傅里叶变换幅值。

1.2 Fourier谱强度频率匹配度的概念

对任意一条地震动，其可以看作是无限多个离散频率的傅里叶级数分量的叠加，且每个频率对应不同的傅里叶幅值。对任意一个结构，其有一阶、二阶、三阶等不同阶的振型频率。根据共振原理，当激励频率近似等于结构某一阶固有频率时，结构都将以更大的振幅做振动[16]。傅里叶幅值较大的一批频率点的激励值对结构动力响应起主导作用，且这些频率点与结构固有频率点越接近，对结构动力响应的放大作用越强，傅里叶幅值越大，相应的动力响应越大。据此，本文同时考虑了地震动傅里叶幅值、傅里叶频率和结构各阶振型频率的贴近程度，提出了Fourier谱强度频率匹配度的概念，其表达式为

(2)

1.3 Fourier谱强度频率匹配度的典型表达式

本文考虑傅里叶幅值谱中最大的三个频率点和介于0.25～20 Hz的频率点定义了三大峰值频率和平均频率，地震动各频率点和傅里叶幅值的取值如图1所示。Fourier谱强度频率匹配度的三种典型表达式分别为：

图1 频率和傅里叶幅值示意图Fig.1 Schematic diagram of frequency and Fourier amplitude

(1)Fourier谱强度卓越频率匹配度

(3)

式中：fp为地震动卓越频率；Cp为fp对应的傅里叶幅值；C1,C2,C3为傅里叶谱中三个最大傅里叶幅值；Cmin为C1,C2,C3的最小值；f1,f2,f3分别为结构一阶、二阶、三阶振型频率；c=max{|fp-fj|}。

(2)Fourier谱强度三大峰值频率匹配度

(4)

(3)Fourier谱强度平均频率匹配度

(5)

式中；f*为地震动平均频率；C*为f*对应的傅里叶幅值；Cmax为C1,C2,C3中的最大值；e=max{|f*-fj|}。

1.4 单频率简谐激励

地震动频率成分非常复杂，为了研究地震动各频率组分对结构损伤的作用，根据徐菁菁的研究对单频率简谐激励函数的定义，给出生成单频率简谐激励的公式为

(6)

Y(t)=0.4A(t)sin(2πft)

(7)

式中：t为时间，间隔取0.01 s；Y(t)为简谐激励在t时刻的加速度值；f为生成简谐激励的频率。

2 结构振型频率影响系数概念及公式

2.1 基础隔震结构损伤模型

本文采用累积损伤极限状态法，采用Park等[17]提出的地震弹塑性变形与累计滞回耗能线性组合地震损伤模型，该模型能够较好地反映结构在罕遇地震时的损伤情况。上部结构的地震损伤模型为

(8)

式中：δi max为第i层最大位移；δui为单调加载下第i层极限变形；Qyi为第i层屈服强度；ΣEi为第i层累计滞回耗能；β为非负常数，本文取0.2[18]。

对隔震层而言，该模型无法反映其压剪相关性对隔震层损伤的影响及隔震支座拉压特性差异及支座的受拉损伤，而此两方面均为影响隔震层损伤必须考虑的。根据杜东升等[19]在Park-Ang损伤模型基础上综合弹塑性变形与累计滞回耗能，提出隔震层损伤模型为

(9)

2.2 结构振型频率影响系数

结构有多阶振型频率，而且各阶振型频率对结构损伤时的影响也不相同。本文以结构损伤模型为基础，考虑了结构各阶振型频率的影响，借鉴振型参与系数的定义[20]，提出了结构振型频率影响系数的概念，其表达式为

(10)

式中：ηj为结构前j阶振型频率影响系数矩阵；Dj为前j阶振型频率对应的简谐激励作用时结构的损伤指数；a=max{D1,D2,…,Dj}。

3 类共振放大系数概念及公式

根据类共振的原理[21]，综合考虑Fourier谱强度频率匹配度和结构振型频率影响系数两者对结构损伤的影响，提出类共振放大系数的概念。卓越频率类共振放大系数、三大峰值频率类共振放大系数和平均频率类共振放大系数的表达式分别如下：

(1)卓越频率类共振放大系数

(11)

(2)三大峰值频率类共振放大系数

(12)

(3)平均频率类共振放大系数

(13)

4 有限元模型建立

4.1 地震动选取

地震动有幅值、频谱和持时三个特性，为了分析频谱特性与结构响应之间的关系，且在分析时避免地震动三要素中的幅值和持时对二者关系的影响，在选取地震动时，选取持时都在一定范围内的地震动，加速度调幅至相同。地震动信息见表1。

表1 地震动信息Tab.1 The information of earthquake records

4.2 基础隔震结构模型建立

利用Perform-3D建立一个6层钢筋混凝土基础隔震结构，其隔震层平面布置及梁柱配筋如图2所示。结构总高度19.8 m，各层层高均为3.3 m。抗震设防烈度为8度，设计地震分组为第二组，Ⅱ类场地，建筑类别为乙类。混凝土强度等级为C30，纵筋为HRB400级，箍筋为HPB300级。板厚为150 mm，板面恒荷载为5 kN/m2(包括楼板自重)，活荷载为2 kN/m2。隔震支座采用LRB500，基础隔震结构振型频率见表2，隔震支座参数见表3和表4。

图2 隔震层平面布置及梁柱配筋图Fig.2 Plan layout of isolation layer and reinforcement details

混凝土本构考虑约束区和非约束区两种，约束区混凝土本构采用Mander理论，非约束区混凝土本构采用《混凝土结构设计规范：GB 50010—2010》附录C.2.4中单轴应力应变关系。钢筋本构采用《混凝土结构设计规范：GB 50010—2010》附录C.1.2中有屈服点钢筋本构关系。

表2 基础隔震结构振型频率Tab.2 The modal frequency of based-isolated structure

表3 隔震支座尺寸参数Tab.3 The size parameters of the seismic isolator

表4 隔震支座性能参数Tab.4 The performance parameters of the seismic isolator

4.3 简谐激励生成

根据本文建立的基础隔震结构前三阶振型频率的大小，首先用式(6)、式(7)生成三条单频率简谐激励，计算结构在各阶振型频率时的损伤指数，然后用式(10)计算结构振型频率影响系数。简谐激励时程如图3所示。

图3 单频率简谐激励加速度时程Fig.3 Acceleration history curves of harmonic excitation of single frequency

5 结果与分析

5.1 振型频率影响系数

将图3中的三条单频率简谐激励加速度时程分别作用到已建立的基础隔震结构上，并通过式(10)计算前三阶振型频率影响系数，计算结果如图4所示。

图4 振型频率影响系数Fig.4 Influence coefficient of modal frequency

从图4可知，对于本文建立的基础隔震结构，采用振型频率影响系数的计算方法求得结构前三阶振型频率影响系数之比为1∶0.117∶0.025，第一阶振型频率影响占前三阶的87.6%，第二阶振型频率影响占前三阶的10.2%，第三阶振型频率影响占前三阶的2.2%。各阶振型频率对结构的损伤都有影响，且第一阶振型频率对结构损伤影响最大。

5.2 基础隔震结构损伤指数

基础隔震结构损伤分为隔震层损伤和上部结构损伤两部分，各构件的损伤同时考虑变形和耗能双参数指标，利用式(8)、式(9)分别计算上部结构和隔震层的损伤指数。地震动平均频率与损伤指数的关系如图5所示。

从图5可知，当地震动平均频率越接近基础隔震结构第一振型频率时，隔震层和上部结构损伤指数就越大，对隔震层和上部结构造成的破坏也就越严重；当地震动平均频率越远离基础隔震结构第一振型频率时，隔震层和上部结构损伤指数就越小，对隔震层和上部结构造成的破坏也就越轻微。所以，地震动对结构的损伤与其平均频率和结构振型频率有关。比较图5(a)和图5(b)可知，隔震层损伤指数最大值为1.854，平均损伤指数为0.461，上部结构损伤指数最大值为1.408，平均损伤指数为0.166，隔震层损伤指数整体大于上部结构损伤指数，所以可以用隔震层的损伤表示基础隔震结构的损伤。

图5 基础隔震结构损伤指数与地震动平均频率的关系Fig.5 The relationship between damage index of base-isolated structure and f*

5.3 类共振放大系数与损伤指数相关性

根据相关性原理[22]，采用皮尔森相关性系数反映类共振放大系数与损伤指数间的相关关系，计算公式为

(14)

式中：r为相关系数；X为类共振放大系数；Y为与类共振放大系数对应的损伤指数；N为离散点的数量。

对于确定的基础隔震结构，振型频率影响系数即可确定，每一条地震动可以计算出一个损伤指数，每一条地震动与振型频率影响系数可以分别计算出一个卓越频率类共振放大系数、一个三大峰值频率类共振放大系数和一个平均频率类共振放大系数。类共振放大系数与损伤指数相关性如图6所示。

图6 类共振放大系数与损伤指数相关性Fig.6 The correlativity between damage index and magnification factor of pseudo-resonance

从图6可知，随着类共振放大系数的增大，基础隔震结构损伤指数也逐渐增大，损伤指数最小值为0.040，此时结构处于基本完好状态，最大值为1.854，此时结构处于倒塌状态，所以类共振放大系数对结构损伤影响很大。在一定类共振放大系数区域内，损伤指数存在离散性，结构不仅会出现较大损伤，也会出现较小损伤，这是由地震动本身的复杂性造成的。

从图6(a)可知，卓越频率类共振放大系数与损伤指数相关系数为0.441，说明相关性很差，离散性较大，用卓越频率不能代表地震动频谱特性；从图6(b)可知，三大峰值类共振频率放大系数与损伤指数相关系数为0.649，说明相关性较好，离散性较小，用三大峰值频率能够代表地震动频谱特性；从图6(c)可知，平均频率类共振放大系数与损伤指数相关系数为0.750，说明相关性很好，离散性很小，用平均频率能较好地代表地震动频谱特性。

6 结 论

通过对地震动频谱特性及频谱特性与隔震结构损伤相关性的研究，得到以下结论：

(1)结构振型频率影响系数反映了各阶振型频率对结构损伤的影响程度，通过模型算例得到基础隔震结构前三阶振型频率影响系数之比为1 ∶0.117 ∶0.025，第一阶振型频率对结构损伤的影响最大。

(2)Fourier谱强度频率匹配度反映了地震动傅里叶各离散频率和结构各阶振型频率的契合程度，Fourier谱强度频率匹配度越大，即契合程度越高，说明结构发生类共振的概率越大，由于发生类共振而导致的隔震层损伤指数及上部结构损伤指数就越大，而且隔震层损伤指数整体大于上部结构损伤指数。

(3)类共振放大系数反映了地震动频谱特性对结构造成损伤的程度，随类共振放大系数的增加，结构损伤指数也增大，且卓越频率、三大峰值频率和平均频率放大系数均有此相似规律。相比于卓越频率类共振放大系数和三大峰值频率类共振放大系数，平均频率类共振放大系数与结构损伤指数相关性最好，用平均频率能够较好地描述地震动频谱特性。