一类具有潜伏感染细胞的时滞HIV-1传染病模型

杨俊仙 谢宝英

摘要：提出了一類具有潜伏感染细胞的时滞HIV-I传染病模型，定义了基本再生数Ro，给出了无病平衡点PO （x0，0，0，0）和慢性感染平衡点P*（x*，ω*，y*，υ*）的存在条件.首先利用线性化方法，得到了无病平衡点和慢性感染平衡点的局部渐近稳定性.进一步通过构造相应的Lyapunov函数，并结合LaSalle不变集原理，证明了当R0≤1时，无病平衡点PO （x0，0，0，0）是全局渐近稳定的;当R0 >1时，慢性感染平衡点P*（x*，ω*，y*，υ*）是全局渐近稳定的，但无病平衡点P0（x0，0，0，0）是不稳定的.结果表明，模型中的潜伏感染时滞和感染时滞并不影响模型的全局稳定性，并通过数值模拟验证了所得结论.

关键词：HIV-1传染病模型;潜伏感染细胞; 时滞; Lyapunov函数

中图分类号：0175.13

文献标志码：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000- 5641.2019.04.003

0 引言

艾滋病（AIDS）是一类严重威胁人类健康和生命的传染病，目前已成为全球重要的公共健康问题.艾滋病病毒（Human Immunodeficiency Virus，简称HIV）主要感染人体免疫系统细胞CD4+T，可引起细胞CD4+T计数的大幅度下降，导致人体免疫缺陷，严重影响患者防御机会性感染的能力[1]，HIV分为两种类型：HIV-1型和HIV-2型，其中HIV-1是引发艾滋病的主要病原体.国内外已有很多医学和数学等各方面的工作者投入到艾滋病的防治研究中，其中借助数学模型来分析艾滋病病毒感染的动力学行为已成为一个热点研究问题[2].对于HIV-1感染的研究，Perelson、Anderson等提出了最初的模型[3-6]：其中：x（t），y（t），v（t）分别表示￡时刻CD4+T未感染细胞数、CD4+T感染细胞数、病毒数;参数λ表示未感染细胞固有生成率;β表示病毒感染率;d，α，υ分别表示未感染细胞、被感染细胞、游离病毒的死亡率;k表示被感染细胞释放病毒的比率.λ，β，d，a，u，k均为正数.

在模型（1）中，发生率被假设为：t时刻未感染细胞CD4+T个数x（t）和病毒数υ（t）之间是双线性的，然而实际发生率可能不是严格线性的[7-11].Song和Xu等[7，10-11）提出具有饱和发生率βxυ/1+αυ（α>o）的传染病模型.然而，以上提到的模型均忽略了一个事实，即在细胞中并不是所有的病毒都能启动活性病毒的产生.一部分CD4+T细胞在被病毒激活感染后，进入染病阶段，但还有一部分CD4+T细胞在被激活之后长时间保持静止，仍然保留在潜伏期[12]，在文献[13]中，这种细胞被定义为潜伏感染细胞.HIV-1持续潜伏在CD4+T细胞内的这种特性目前被认为是细胞从感染中恢复的障碍.但到目前为止，关注潜伏感染细胞对HIV-1感染过程影响的模型并不多见[14-15].其中Wang[15]讨论了一类具有潜伏感染细胞和饱和发生率的HIV-1传染病模型：

5 结论

本文研究了一类具有潜伏感染细胞和饱和发生率的时滞HIV-1传染病模型，讨论了系统（3）的无病平衡点P0（x0，0，0，0）和正平衡点P*（x*，ω*，y*，υ*）的局部稳定性和全局稳定性.结论表明：①当Ro<1，且时滞T1，T2之一为零或两者均不为零但相等时，无病平衡点P0（x0，0，0，0）是局部渐近稳定的;②当R0≤1时，对任意τ1≥0，τ2≥0，无病平衡点PO（x0，0，0，0）是全局渐近稳定的，即在这种情况下，细胞没有被传染;③当Ro >1，且时滞T1，T2其中之一为零或两者均不为零但相等时，慢性感染平衡点P*（x*，ω*，y*，υ*）是局部渐近稳定的：④当Ro >1时，对任意τ1≥0，τ2≥0，慢性感染平衡点_P*（x*，ω*，y*，υ*）是全局渐近稳定的，即CD4+T细胞被病毒感染后，一部分被激活进入染病阶段，但另一部分在被激活之后长时间保持静止，这种持续潜伏的状态成为细胞从感染中恢复的障碍，应引起大家的重视.关于局部稳定性的讨论中，时滞τ1， τ2两者均不为零且不相等的情形，本文未给出理论分析，有待进一步研究.

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