简单枚举法在小学数学问题解决中的应用

浙江省义乌市经济开发区学校 王菊华

数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，也是解决问题的基本策略。如果说抽象与建模这些数学思想在教学中如“润物细无声”一样渗透在每个教学环节，而枚举法的数学思想，则可以在教学中大张旗鼓的与学生进行互动与交流。枚举法是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中，都能发挥很重要的作用。

枚举法是将问题所涉及的所有情况全部罗列出来，一一加以讨论，从而解决问题的一种方法。当问题出现的情况是有限种，而且这些情况又无法统一处理时，就可以用枚举法来解决。这种方法，就是先将题目中的答案，分成几种不同的类型，然后将每一类中各种不同的情况一一列举出来，不重复，不遗漏，最后计算总数的方法。运用枚举法解题的关键是有序思考，正确分类，分类不全就会造成遗漏，分类不清，使第一类中有第二类，第二类中有第三类，互相包涵，那么就会重复，这样结果也就很难正确了。为此必须注意两点：一分类时要全，不能有遗漏；二枚举时要全，要将符合要求的每一个对象都列举出来。在枚举时，我们可以采用列算式，列表格，写序号，画树状图等形式来呈现。下面我们一起来看看枚举法在小学数学问题解决中的一些特例。

一、列算式枚举

无论是低段，还是中高段，在平时教学中，我们经常会不经意地使用枚举法。例如，学习二年级怎样取钱时，往往引导学生有序思考，一一枚举，采用列算式的形式呈现。

例1：小红有若干张纸币，8张1元，4张2元，,1张5元，他要拼出8元钱来，有几种不同的拼法？

分析：怎样才能有序地进行思考，我们可以根据纸币的大小，按从大到小分类排列。比如8元钱，可以1张5元+1张2元+1张1元，但这样书写太麻烦，我们往往直接采用算式来表示。

8=5+2+1 8=2+2+1+1+1+1

8=5+1+1+1 8=2+1+1+1+1+1+1

8=2+2+2+2 8=1+1+1+1+1+1+1+1

8=2+2+2+1+1

例2：将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？

分析：按奇数从小到大分类排列，有序思考。

1+3+19=23 3+5+15=23

1+5+17=23 3+7+13=23

1+7+15=23 3+9+11=23

1+9+13=23 5+7+11=23

一共有8种不同的分法。

二、列表格枚举

我们采取枚举法来解决问题，碰到数据较多时，就会列成表格来枚举。因为使用表格不仅可以对数据进行排序，而且可以清楚地看出数据的变化，从而快速地解决问题，如，三年级的租车问题，长方形等周等积问题，五年级的鸡兔同笼问题等，都可以采用列表格枚举解决。

例1：用26根1厘米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？你发现了什么？怎样围面积最大？

分析：这是典型的三年级的长方形等周问题。26厘米是长方形的周长，可以先求出长+宽=26÷2=13(厘米)，列表格枚举如下：

长/厘米 12 11 10 9 8 7宽/厘米 1 2 3 4 5 6面积/平方厘米 12 22 30 36 40 42

观察发现：周长一定时，长和宽越接近，面积越大。

一共有6种不同的围法，当长等于7米，宽等于6米时，面积最大。

例2：用24个边长是1厘米的正方形，可以拼成多少种不同的长方形？你发现了什么？

分析：这是典型的三年级的长方形等积问题。18平方厘米是长方形的面积，可以先求出24=24×1=12×2=8×3=6×4，列表格枚举如下：

长/厘米 12 11 10 9 8 7宽/厘米 1 2 3 4 5 6面积/平方厘米 12 22 30 36 40 42

观察发现：面积一定时，长和宽越接近，周长越小。

一共有4种不同的围法，当长等于7米，宽等于4米时，周长最小。

长/厘米 24 12 8 6宽/厘米 1 2 3 4周长/厘米 50 28 22 20

例3：鸡兔同笼，一共有28只脚，9个头，请问鸡兔各有几只？可以用枚举法，是最基本的方法，把所有可能出现的情况都罗列出来。

鸡 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9兔 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0脚 36 34 32 30 28

枚举法并不“笨”，相反，对小学生来说枚举法更容易理解记忆。

例4：有12个人植树，男生种3棵，女生种2棵，一共种了27棵，男女生各有几人？

分析：此题也可看成鸡兔同笼问题，但三年级学生列算式解决并不容易，若把所有可能出现的男女生人数情况都一一罗列成表，再计算出树的棵数，依次是24,25,26,27，……，就可以轻而易举地找到我们所需要的答案。那就是男生3人，女生9人。

男 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12女 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0树 24 25 26 27

例5：一次数学竞赛共有10道题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分。小周考了26分，他做对了几道题？

分析：此题跟鸡兔同笼问题非常类似，一共有13种情况，做对最多12道，最少0道。把所有可能出现的情况一一罗列成下表：

对题 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0错题 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10总分 50 42 34 26

再计算出对应的总分，依次是50,42,34,26，……，我们可以轻而易举地找到我们所需要的答案。那就是做对7道，做错3道。

此题可以用方程解，但用方程解对部分同学有一定的难度。用假设法列算式，对一题和错一题相差8分，学生理解也会更困难，很容易做错，如果用枚举法，就可以避免以上困惑。枚举时只要找到自己所需要的答案，后面可以不用再继续算下去。

三、写序号分类枚举

写序号分类枚举，就像字典排列法，在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案，每个位置都按从小到大排列，适用于二三年级经常遇到的一些组数问题。怎样才能做到不遗漏，不重复，关键在于分类，我们可以根据题目要求按同一数位上的不同数字进行分类。

例1:用0，2，4，7四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：0不能放在最高位，但可以放在十位和个位，可以按百位上的数字2，4，7进行分类。

①百位上是 2 的三位数：204，240，207，270，247，274；

②百位上是 4 的三位数：402，420，407，470，427，472；

③百位上是 7 的三位数：702，720，704，740，724，742；

一共有 6×3=18（个）

例2：一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？

把它分成两类来考虑。

①个位是 6 的数字有:6，16，26，36，46，56，66，76，86，96，共10个。

②十位是 6 的数字有:60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，共10个。

10+10=20（个）答：在排页码时，要用20个数字是6的铅字。

例3：个位是6，且能被3整除的三位数有多少个？

分析：个位是6，组数要符合被能3整除，只要考虑百位和十位之和是3的倍数就可以了。按百位是1，2，3，4，……，9有序思考，共写出了以下9组数。

①126，1 56，186； ⑥606，636，666，696；

②216，246，396； ⑦726，756，786；

③306，336，366，396； ⑧816，846，876；

④426，456，486； ⑨906，936，966，996；

⑤516，546，576；

3×6+4×3=30（个） 答：共30个。

例4：一个三位数的各个数位之和为10，且各个数位上的数字各不相同，这样的三位数共有几个？

分析：可以按三个数之和等于10，写出三个数里含有1，含有2，含有3，含有4，……的所有算式进行分类，再有序思考，再组成三位数。

①含有 1:1+0+9=10 109，1 90，901，910；

1+2+7=10 127，172，217，271，712，721；

1+3+6=10 136，163，316，361，613，631；

1+4+5=10 145，154，415，451，514，541；

②含有 2：2+0+8=10 208，280，802，820；

2+3+5=10 235，253，325，352，523，532；

③含有 3：3+0+7=10 307，370，703，730；

④含有 4：4+0+6=10 406，460，604，640。

符合条件的共有：4×4+6×4=40（个）

由于分类标准不一样，思考方法也会随之改变。

例 5：淘气从 1 开始写连续的自然数：1，2，3，4，5，……，当写完某个自然数的时候停止，发现一共写了30个数字“1”。那么他写的最后一个数自然数是几？

解：按数的区间分：

①1～9 之间：只有 1，有 1 个“1”；

②10～19之间：含有1的数共有11个“1”；

③20～99之间：含有1的数共有8个“1”；

④ 前三步已有 1+11+8=20个“1”，还有 10个“1”，接下来100～108，共有 10 个“1”。所以，“1～108”之间，一共有 30 个“1”，最后一个自然数为108。

按数位分：

解：①1～99 之间：数个位上的 1，从 1，11，21，……，91，共有 10 个“1”；

②1～99之间：数十位上的 1，从 10，11,12，……,19，共有10 个“1”；

③已有 10+10=20个“1”，还有 10个“1”，接下来 100～108，数百位上的 1，共有 9 个“1”。加上 101 个位上的“1”，共有10 个“1”，所以，“1～108”之间，一共有 30 个“1”，最后一个自然数为108。

四、画树状图枚举

例1：小明有10块糖，每天至少吃3块，吃完为止，那么共有几种不同的吃法？

分析：首先要注意每天至少吃3块糖，解决这个问题，也可用树状图表示。

注：算式中的加数表示各天吃的颗数，例如3+7表示第一天吃3颗，第二天吃7颗，7+3表示第一天吃7颗，第二天吃3颗。

例2：用一台天平。和1克3克，9克的砝码各一个。规定砝码只能放在天平的右边。用这三个砝码能称出几种不同的重量。

枚举法虽然看起来有点笨拙，但却是很多数学知识探究、问题解决的最有效的方法之一。同时，列算式枚举、列表格枚举、写序号分类枚举、画树状图枚举还承载了数学语言描述简洁，解决问题有序思考、抽象思维、数形结合等思想方法的渗透教学。枚举法比较好理解，有利于中下等学生学习，还能解决用算式或方程小学生没法解决的问题，起到化难为易的作用。良好的数学思想和方法，会让学生终身受益，让我们不断探索能使学生养成优秀思维品质的数学思想和方法，在路上，从容行走，优雅为师，做一个让学生敬佩并会念想的老师！