一种基于非同轴线圈的距离适应无线电能传输方法

杨东升 元席希 洪欢 周博文 金正浩

摘要：磁耦合谐振式（magnetically coupled resonant，MCR）是一种适用于中距离无线电能传输的技术。该技术在传输距离变化时存在耦合状态变化的情况，随之造成的阻抗不匹配现象使系统的传输效率急剧下降。为了避免上述现象的发生，本文提出一种基于非同轴线圈的距离适应无线电能传输方法，通过该方法指导确定传输系统的驱动线圈参数，系统可以实现阻抗匹配，有效抑制因距离变化造成传输效率急剧下降的缺点，提高系统的传输性能，同时采用非同轴线圈结构可以减小驱动线圈圆周以外的导线寄生电感和高频交流电阻，降低系统损耗，减小系統发射端的体积，并且保证系统实际设计与理论计算实现高度匹配。仿真分析与实验结果均验证了该方法的有效性和准确性。

关键词：无线电能传输;耦合状态;距离适应;非同轴线圈;阻抗匹配

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.011

中图分类号：TM 724

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2019）09-0084-08

Methodology of range adaptive for wireless power  transmission based on non coaxial coils

YANG Dong sheng1，WON Sok hui1，2，HONG Huan1，ZHOU Bo wen1，KIM Jong ho2

（1.College of Information Science and Engineering， Northeastern University， Shenyang  110819， China;  2.Institute of Electronic， State Academy of Sciences，Pyongyang  999093， DPRKorea）

Abstract：

The magnetically coupled resonant （MCR） technology is suitable for mid range applications of wireless power transmission （WPT）. In the practical applications of MCR， the coupling state changes with respect to the variation of transmission distances， which leads to the impedance mismatch， and consequently results in the rapid decrease of transmission efficiency. In order to avoid this phenomenon， a methodology of range adaptive with a set of non coaxial coils for WPT system was proposed， which can reasonably overcome the disadvantage of the transmission efficiency reduction due to the distance changing and improve the transmission performance of the system obviously. Meanwhile the parasitic inductance and high frequency AC resistance of unnecessary conductor in addition to coil′s circumference are avoided， and the system loss and the volume of the transmitter can be reduced. In addition， the practical design of WPT is well matched with the theoretical calculation through this methodology. The simulation and experiment results have verified the theoretical validity and accuracy of the methodology.

Keywords：wireless power transmission （WPT）; coupling state; range adaptive; non coaxial coil; impedance match

0引言

无线电能传输技术是一种新型的输电技术，它摆脱了传统有线输电的束缚，提高了输电的安全性和可靠性，因此该技术具有广阔的应用前景，比如给电动汽车、人体植入装置、便携式设备充电以及给恶劣环境中的设备供能等。自从2007年麻省理工学院的科学家Marin Soljacic提出磁耦合谐振技术以来，该技术就成为了无线电能传输中的研究热点问题。磁耦合谐振技术主要是基于发射线圈和接收线圈之间发生谐振耦合的原理，发射线圈接通高频驱动电源，线圈中会产生振荡电流进而在线圈周围产生磁场，磁场中没有接收线圈时能量会逐渐消耗殆尽，而当接收线圈进入磁场后，能量会传递到接收线圈，从而进行电能的无线传输。

虽然磁耦合谐振技术能够提高传输距离，但当传输距离变化时，系统会出现阻抗不匹配现象，随之造成的频率分裂会使系统的传输效率急剧下降。文献为了实现阻抗匹配，提出了一种能够扩宽谐振频率带宽的频率跟踪方法，该方法能够较好地跟踪谐振频率，将系统调整到最佳运行频率，而实际上能够用于研究、工业和医疗应用的频率范围是受限的，并不能随意选择和使用频率。文献为了系统距离适应实现阻抗匹配，提出了一种通过机械调整线圈间距离来调整耦合系数的方法，该方法会使发射端体积较大，并且不易实现。文献提到使用单匝线圈调整耦合系数的方法，该方法使用的是同轴线圈结构，很好地实现了系统高效率传输，可是文中只有实验数据，并没有提到具体的设计方法。

基于以上分析，本文提出了一种基于非同轴线圈的距离适应无线电能传输方法，通过该方法指导确定传输系统的驱动线圈参数，可以有效抑制因距离变化造成系统传输效率急剧下降的缺点，减小驱动线圈圆周以外的导线寄生电感和高频交流电阻，降低系统损耗，提高系统的传输性能，并且使理论计算与实际设计实现高度匹配，减小系统发射端体积。本文首先从电路理论出发，建立了4线圈结构无线电能传输系统的数学模型，推导出系统的|S21|参数，进而分析并提出了基于非同轴线圈的距离适应方法的详细设计步骤，并对该方法进行了仿真与实验，仿真分析與实验结果均验证了所提方法的有效性和准确性。

1理论分析

一个典型的4线圈WPT系统由4个具有相同谐振频率的谐振线圈组成，其等效电路模型如图1所示，其中包含的4个线圈分别是驱动线圈、发射线圈、接收线圈和负载线圈。

根据基尔霍夫电压定律，可得表达式为

V·S=I·1RSource+Rp1+jωL1+1jωC1+jωI·2M12，

0=I·2Rp2+jωL2+1jωC2+jω（I·1M12+I·3M23），

0=I·3Rp3+jωL3+1jωC3+jω（I·4M34+I·2M23），

0=I·4RLoad+Rp4+jωL4+1jωC4+jωI·3M34。（1）

式中：RSource和RLoad是电源内阻和负载电阻;Rpi（i=1，2，3，4）和Li（i=1，2，3，4）分别是驱动线圈、发射线圈、接收线圈和负载线圈的高频交流电阻和线圈电感;Ci（i=1，2，3，4）是与上述线圈电感相连的谐振补偿电容（包含线圈杂散电容），其作用是确保每个电路都能够以相同的谐振频率发生谐振;Ii（i=1，2，3，4）分别是驱动线圈、发射线圈、接收线圈和负载线圈对应电路中的电流。

通常情况下，非相邻线圈间的互感M13、M14和M24相比于M12、M23和M34要小很多，因此公式中只考虑了相邻线圈之间的互感M12、M23和M34。

为了便于分析，给出4个线圈的阻抗表达式为

Z1=Rp1+RSource+jωL1+1jωC1，

Z2=Rp2+jωL2+1jωC2，

Z3=Rp3+jωL3+1jωC3，

Z4=Rp4+RLoad+jωL4+1jωC4。（2）

结合电感线圈间耦合系数计算公式kmn=Mmn/（LmLn）1/2，（0

VLoadVSource=I4RLoadVSource=

ω3k12k23k34L2L3L1L4RLoadk212k234L1L2L3L4ω4+Z1Z2Z3Z4+ω2（k212L1L2Z3Z4+k223L2L3Z1Z4+k234L3L4Z1Z2）。（3）为方便系统设计，认为系统是均匀对称的，即有L2=L3，L1=L4，RP2=RP3，RP1=RP4，C2=C3，C1=C4，RSource=RLoad，且驱动线圈和发射线圈之间的耦合系数k12与接收线圈和负载线圈之间的耦合系数k34相等。由线圈电感、电阻与品质因数间的关系（Qi=ωiLi/Ri=1/ωiRiC）可知Q1=Q4，Q2=Q3，且4个线圈具有相同的谐振角频率（ωi=（LiCi）1/2）。因此，对式（3）进一步简化可得表达式为

VLoadVSourceω=ω0=k23k212Q1Q22k223Q22+（1+k212Q1Q2）2。（4）

为了使公式（4）的电压比最大，对其求k12的偏导数，发现当耦合系数k12与品质因数Q1，Q2、耦合系数k23满足如下公式所示的关系时，公式（4）对应的电压比最大。

Q1（k12）2critical=1Q22+k223。（5）

式中：（k12）critical是最佳耦合系数，为传输距离确定时最佳的k12值，此时系统的传输效率最大。

通常，WPT系统可视为一个双端口网络，其中一个端口包含电源VSource和电源内阻RSource，另一个端口是负载RLoad，当输入输出端口匹配时，双端口网络的正向电压传输系数|S21|可表示系统的负载电压比，由于|S21|参数的平方可以体现系统在阻抗匹配情况下的转化功率增益，能够表征系统将能量从高频电源传输到负载的能力，也就是实际到达负载的功率和理论上能到达负载的最大功率之间的比率。而本文研究的主要问题是最大功率传输条件下的传输效率，所以可用|S21|参数评价系统的性能。如式（6），因此|S21|与公式（4）具有相同的含义，而系统的传输效率即为|S21|2。

|S21|=2VLoadVSourceRSourceRLoad。（6）

当传输距离变化时，耦合系数k12偏离最佳耦合点（k12）critical，系统出现阻抗不匹配，在距离过近时会在谐振点发生频率分裂现象，系统传输效率急剧下降，距离过远时系统的传输效率明显降低。

2基于非同轴线圈的距离适应方法

针对系统在传输距离变化时出现阻抗不匹配，导致系统传输效率下降的情况，结合上述分析，系统存在如公式（5）所示的最佳耦合状态，因此本文提出一种通过调整品质因数Q1和耦合系数k12的方法，来使系统实现距离适应。在发射线圈尺寸和拓扑确定、驱动线圈与发射线圈间距离固定的情况下，品质因数Q1和耦合系数k12与驱动线圈的半径有关，而且对半径连续，图2所示为距离适应方法的设计思想，通过确定驱动线圈半径达到调整品质因数Q1和耦合系数k12的目的，进而使系统满足式（5）所示的最佳耦合状态，确保系统进行最大效率无线电能传输。

为了方便给驱动线圈传输励磁功率，减少驱动线圈圆周以外的导体，提高理论计算与实际设计的高度匹配，本文所提出的距离适应方法使用单匝的非同轴驱动线圈，多匝螺旋发射线圈的结构。基于此，下文给出了基于非同轴线圈的距离适应方法的详细步骤。

2.1非同轴线圈参数及互感计算

为使系统满足最大效率传输条件，需要考虑线圈的电感和高频交流电阻，结合谐振角频率进而得到线圈的品质因数。圆形导线构成的单匝线圈电感可通过如下公式计算得到：

L（R，a）=μ0R[ln（8R/a）-1.75]。（7）

式中：R是单匝线圈的半径;a是圆形导线的半径。

在计算非同轴单匝线圈之间互感时，需要考虑因素较多。如图3所示，RP是线圈1的半径，RS是线圈2的半径，c是2个非同轴线圈所在平面之间的距离，d是2个非同轴线圈中心轴偏移的距离。根据下式得2个非同轴线圈间的互感。

M（RP，RS，c，d）=2μ0πRPRS

∫π01-dcosφRSΨ（k）kV3dφ。（8）

式中：Ψ（k）=（1-k2/2）K（k）-E（k）;K（k）和E（k）分别是第一类椭圆积分和第二类椭圆积分K（k）=∫π/20（1-k2sin2θ）-1/2dθ，E（k）=∫π/20（1-k2sin2θ）1/2dθ，V=（1+d2R-2S-2dR-1Scosφ）1/2，α=RSR-1P，β=cR-1P，k2=4αV（（1+αV）2+β2）-1。

平面圆形螺旋线圈近似于若干个不同半径的同轴单匝线圈在同一平面上的叠加，平面圆形螺旋线圈的电感计算表达式为

La=∑Nai=1L（Ri，a）+∑Nai=1∑Naj=1M（Ri，Rj，c=0，d=0）ij，

ij=0（i=j），

ij=1（i≠j）。（9）

式中：Na是螺旋线圈的匝数;Ri、Rj是螺旋线圈第i匝和第j匝对应的半径。

同理2个螺旋线圈之间的互感可视为若干个单匝线圈互感的叠加，根据公式（8）和公式（9）可以得到2个螺旋线圈之间的互感计算公式为

M23=∑Nai=1∑Naj=1M（Ri，Rj，c，d）。（10）

在圆形导体中，电流密度的径向分布满足贝塞尔函数，与频率的平方根成比例。在直流情况下，电流密度均匀分布;而在高频情况下，电流集中分布在导体表面，导体中能流过电流的部分减少了，因此高频交流电阻比直流电阻要大很多。当频率是f，绕线长度是lω，绕线直径是d时，趋肤深度ω=（ρω/πμ0f）1/2，根据下式得到绕线直流电阻RωDC值。

RωDC=4ρωlωπd2。（11）

式中：ρω是绕线的电阻率;μ0是真空磁导率。

考虑绕线直径和趋肤深度的比d/ω，d/ω远大于1时，根据下式得到绕线的高频交流电阻Rω值。

RωRωDC≈π43/4dωdp（2N2l+1）3。（12）

式中：d/p是孔隙率;Nl是繞线的层数。

2.2距离适应方法设计

由前文分析，认为系统是均匀对称的，即驱动线圈与负载线圈完全一致，发射线圈与接收线圈完全一致。图4所示为本文提出的距离适应方法对应的系统拓扑结构，图中发射线圈与接收线圈为螺旋线圈且同轴，驱动线圈和负载线圈采用线圈组的结构（图中线圈组为3个单匝线圈的示意图）。发射线圈和接收线圈的尺寸越大，传输距离越长，而且传输功率越大，但在实际情况下需考虑传输范围和性价比才能确定其尺寸。由于系统均匀对称，所以在后续分析中只考虑驱动线圈组和发射线圈，距离适应方法的详细设计如下：

a.设定线圈谐振角频率ω0，根据公式（8）～公式（12），计算发射线圈的电感L2和高频交流电阻Rp2，结合谐振角频率得到发射线圈的品质因数Q2和串联补偿电容C2。

b.根据公式（8），计算发射线圈和接收线圈间互感系数M23与传输距离d23的关系，结合线圈电感L2、L3，得到耦合系数k23与传输距离d23的关系。

c.根据公式（7）、公式（11）、公式（12），计算驱动线圈的电感L1、高频交流电阻Rp1，结合谐振角频率计算驱动线圈品质因数Q1与半径r1的关系，在计算品质因数时需考虑驱动源内阻RS和高频交流电阻Rp1。

d.为减小发射端体积，驱动线圈和发射线圈间d12选择一个较小距离，根据公式（8）～公式（10）计算驱动线圈和发射线圈间互感系数M12与驱动线圈半径r1的关系，结合线圈的电感L1和L2、品质因数Q1，分别计算耦合系数k12与r1的关系、Q1（k12）2critical与半径r1的关系。

e.考虑传输范围D，将传输范围D以每间隔D/（n+1）取一个传输距离点d23。根据步骤a中的品质因数Q2、步骤b中k23与传输距离d23的关系，得到与这些距离点对应k223+1/Q22的值。结合公式（5）得到与这些距离点对应的最佳耦合条件Q1（k12）2critical的数值，通过步骤d确定在各个距离点所对应的驱动线圈半径r1。

f.根据步骤e中得到的驱动线圈半径r1，结合角频率ω0，当传输距离为各个距离点时，计算出相应驱动线圈电感、补偿电容和品质因数、最佳耦合系数（k12）critical等参数，在驱动线圈组中配置对应的驱动线圈，每一个传输距离点对应一个驱动线圈。

在发射线圈与接收线圈参数固定的情况下，通过步骤a～步骤f所述的距离适应方法确定驱动线圈的参数，对各个传输距离点d23，通过该方法指导在驱动线圈组中配置好的线圈，当d23变化时，通过切换到对应的驱动线圈，系统可以有效抑制因距离变化而导致效率急剧下降的缺点，使系统在传输范围D内始终保持较高效率的无线电能传输。

3仿真分析与实验验证

为验证本文所提出的距离适应方法，本文进行了仿真分析与实验验证。在具体设计方法中，确定所有线圈的谐振频率为f0=13.56 MHz，所有线圈的绕线直径为a=2.5 mm;驱动线圈和负载线圈为单匝线圈，n1=n4=1;发射线圈和接收线圈均为平面螺旋线圈且内半径、外半径分别为7 cm和15 cm，螺旋线距为2 cm，匝数为n2=n3=4。考虑传输范围D=0.4 m，每隔0.1 m取一个传输距离点，则传输距离d23取值为0.1 m，0.2 m和0.3 m。

根据步骤a确定发射线圈和接收线圈的参数，具体计算结果如表1所示。

根据步骤b确定耦合系数k23与传输距离d23的关系曲线和k223+1/Q22与传输距离d23的关系。图5所示为对应的关系曲线。

根据步骤c、d，驱动线圈和发射线圈之间的距离取d12=0.025 m，确定k12、Q1（k12）2critical与驱动线圈半径r1的关系。图6为k12、Q1（k12）2critical与半径r1的关系曲线。

结合步骤e～步骤f确定在传输距离点为0.1 m，0.2 m，0.3 m时对应的驱动线圈和负载线圈的参数值，具体计算结果如图2所示。

3.1仿真分析

本文用PSPICE软件对所提的距离适应方法进行仿真。仿真中发射线圈和接收线圈的参数如表1进行设置，设置完成后保持不变。根据传输距离d23的不同，设置了3组不同的驱动线圈和负载线圈，具体的参数设置如表2所示。仿真实验中为了体现本文所提方法的有效性，在系统参数确定的情况下通过增加传输距离和减少传输距离来对比系统的|S21|参数，具体的仿真结如图7所示。

图7（a）给出了传输距离d23=0.1 m，d23<0.1 m和d23>0.1 m 3种情况下的系统|S21|参数对比，分析发现当传输距离d23>0.1 m和d23<0.1 m时，系统出现阻抗不匹配，前者发生了频率分裂现象，在谐振频率13.56 MHz处的传输效率降低，后者的传输效率下降明显，而在d23=0.1 m时，系统不仅避免了系统频率分裂的发生，并且仍然保持系统高效率传输。同样地，图7（b）中对d23=0.2 m，d23<0.2 m和d23>0.2 m，图7（c）中d23=0.3 m，d23<0.3 m和d23>0.3 m均有相同的结论。

根据仿真分析结果可以知道，通过本文所提出的距离适应方法指导确定传输系统的驱动线圈参数，能够很好地实现阻抗匹配，抑制系统效率下降现象的发生，使系统保持高效率的无线电能传输。

3.2实验验证

为进一步验证提出的距离适应方法，本文对该方法进行了实验验证。首先通过网络分析仪测得发射线圈和接收线圈的自谐振频率分别是19.762 5 MHz和19.527 5 MHz，所以它们的寄生电容可由计算得到，分别是13.3 pF和13 pF。接着为了保证发射线圈和接收线圈在13.56 MHz下谐振，将27 pF空气可变电容并联在线圈两端，然后慢慢调节可变电容的值，通过网络分析仪观察使得电容和电感电路最终处于谐振状态，此时的可变电容值分别是16 pF和16.2 pF。加上线圈的寄生電容值之后，线圈的谐振补偿电容分别是29.3 pF和29.2 pF，与表1中计算所得的补偿电容值28.35 pF十分接近。

图8所示为无线电能传输实验平台，其中发射线圈和接收线圈为完全相同的螺旋形线圈，驱动线圈和负载线圈为完全相同的线圈组，由半径分别为0.073 m、0.087 m和0.116 m的单匝线圈组成。在实验中，使用原安捷伦公司的型号为E5061B网络分析仪测量传输系统|S21|参数，端口1作为电源端，连接系统驱动线圈，端口2作为负载端，连接系统负载线圈，实验结果如图9所示。

图9中的3组曲线分别对应驱动线圈半径为0.116 m、0.087 m和0.073 m时，系统在谐振频率13.56 MHz处|S21|参数随传输距离d23变化的关系曲线。根据图9实验结果分析知，当驱动线圈半径为0.116 m时，传输距离d23在由小逐渐变大的过程中，|S21|参数先增大后减小，在传输距离为0.1 m时，|S21|达到最大，即在d23为0.1 m时，系统的传输效率达到最大;同样地，当驱动线圈半径为0.087 m时，|S21|参数先增大后减小，在传输距离为0.2 m时，系统的传输效率达到最大;当驱动线圈半径为0.073 m时，|S21|在传输距离为0.3 m时达到最大，此时系统的传输效率最大。

由实验结果的分析可知，系统实验与仿真结果具有完全一致的结论，即本文所提出的基于非同轴线圈的距离适应方法实现了系统阻抗匹配，不仅避免了频率分裂情况的发生，还保证了系统在确定传输距离点的高效率传输。当传输距离在0.1～0.4 m以0.1 m为间隔变化时，对不同半径的驱动线圈之间进行切换则可以保证系统在整个传输范围内保持高效率的无线电能传输。

4结论

本文针对4线圈结构的磁耦合谐振式无线电能传输系统提出了一种基于非同轴线圈的距离适应无线电能传输方法，通过该方法指导确定传输系统的驱动线圈参数，可以有效抑制因距离变化造成系统传输效率急剧下降的缺点，提高系统的传输性能，同时采用非同轴线圈结构，可以减小驱动线圈圆周以外的导线寄生电感和高频交流电阻，降低系统损耗，减小系统发射端的体积，保证理论计算与实际设计实现很好地匹配。仿真分析与实验结果很好地验证了该方法的有效性和准确性，为设计高效率无线电能传输系统提供了明确的指导。

另外，本文所提的方法具有一般性，在所考虑的传输范围内，可以通过提高传输距离点的密度，增加驱动线圈组和负载线圈组中与距离点对应线圈的数目，在不同的距离点时使用对应的线圈，从而保证系统在整个传输范围内都能高效地进行无线电能传输。

参 考 文 献：

[1]赵争鸣， 张艺明， 陈凯楠. 磁耦合谐振式无线电能传输技术新进展. 中国电机工程学报， 2013， 33（3）：1.

ZHAO Zhengming， ZHANG Yiming， CHEN Kainan.New progress of magnetically coupled resonant wireless power transfer technology.Proceedings of the CSEE， 2013， 33（3）：1.

[2]Sato M， Yamamoto G，Gunji D， et al. Development of wireless in wheel motor using magnetic resonance coupling. IEEE Transactions on Power Electronics， 2016， 31（7）：5270.

[3]程时杰， 陈小良， 王军华，等. 无线输电关键技术及其应用. 电工技术学报， 2015， 30（19）：68.

CHENG Shijie， CHEN Xiaoliang， WANG Junhua， et al. Key technologies and applications of wireless power transmission. Transactions of China Electrotechnical Society，2015， 30（19）：68.

[4]Li S， Liu Z， Zhao H， et al. Wireless power transfer by electric field resonance and its application in dynamic charging. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2016， 63（10）：6602.

[5]卢闻州， 沈锦飞， 方楚良. 磁耦合谐振式无线电能传输电动汽车充电系统研究. 电机与控制学报， 2016， 20（9）：46.

LU Wenzhou， SHEN Jinfei， FANG Chuliang. Study of magnetically coupled resonant wireless power transfer electric car charging system . Electric Machines & Control， 2016， 20（9）：46.

[6]宋凱， 朱春波， 李阳，等. 用于电动汽车动态供电的多初级绕组并联无线电能传输技术. 中国电机工程学报， 2015， 35（17）：4445.

SONG Kai， ZHU Chunbo， LI Yang， et al. Wireless power transfer technology for electric vehicle dynamic charging using multi parallel primary coils. Proceedings of the CSEE， 2015， 35（17）：4445.

[7]ANDR K， KARALIS A， MOFFATT R， et al. Wireless power transfer via strongly coupled magnetic resonances. Science， 2007， 317（5834）：83.

[8]STEWART W. The power to set you free . Science， 2007， 317（55）：55.

[9]刘卫国，王尧，左鹏，等.偏谐振工作状态下的无线电能传输系统.电机与控制学报，2018，22（12）：22.

LIU Weiguo， WANG Yao， ZUO Peng，et al. Wireless power transfer system based on the mode deviating from the resonance. Electric Machines& Control，2018，22（12）：22.

[10]李阳，董维豪，杨庆新，等.过耦合无线电能传输功率降低机理与提高方法.电工技术学报，2018，33（14）：3177.

LI Yang， DONG Weihao， YANG Qingxin，et al.Mechanism of power decreasing and improvement method for wireless power transfer system in over coupled regime. Transactions of China Electrotechnical Society， 2018，33（14）：3177.

[11]陈希有，周宇翔，李冠林，等.磁场耦合无线电能传输系统最大功率要素分析.电机与控制学报，2017，21（03）：1.

CHEN Xiyou， ZHOU Yuxiang， LI Guanlin，et al.Approach for maximum power transfer of magnetically coupled wireless power transmission system. Electric Machines& Control. 2017，21（03）：1.

[12]PARK J， TAK Y， KIM Y， et al. Investigation of adaptive matching methods for near field wireless power transfer. IEEE Transactions on Antennas & Propagation， 2011， 59（5）：1769.

[13]SAMPLE A P， MEYER D T， SMITH J R. Analysis，Experimental results， and range adaptation of magnetically coupled resonators for wireless power transfer. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2011， 58（2）：544.

[14]DUONG T P， LEE J W. Experimental results of high efficiency resonant coupling wireless power transfer using a variable coupling method. IEEE Microwave & Wireless Components Letters， 2011， 21（8）：442.

[15]LEE G， WATERS B H， SHIN Y G， et al. A reconfigurable resonant coil for range adaptation wireless power transfer. IEEE Transactions on Microwave Theory & Techniques， 2016， 64（2）：1.

[16]KIM J， JEONG J. Range adaptive wireless power transfer using multiloop and tunable matching techniques. Industrial Electronics IEEE Transactions on， 2015， 62（10）：6233.

[17]李陽， 杨庆新， 闫卓，等. 无线电能有效传输距离及其影响因素分析. 电工技术学报， 2013， 28（1）：106.

LI Yang， YANG Qingxin， YAN Zhuo，et al. Analysis on effective range of wireless power transfer and its impact factors. Transactions of China Electrotechnical Society， 2013， 28（1）：106.

[18]HUI S Y R， ZHONG W， Lee C K. A critical review of recent progress in mid range wireless power transfer. IEEE Transactions on Power Electronics， 2014， 29（9）：4500.

[19]唐治德， 徐阳阳， 赵茂，等. 耦合谐振式无线电能传输的传输效率最佳频率. 电机与控制学报， 2015， 19（3）：8.

TANG Zhide， XU Yangyang， ZHAO Mao， et al. Transfer efficiency maximum frequency of wireless power transfer via magnetic resonance coupling. Electric Machines & Control， 2015， 19（3）：8.

[20]ELLIOTT R S.Electromagnetics：History， Theory， and Applications. IEEE Press， 1993.

[21]GROVER F W. The calculation of the mutual inductance of circular filaments in any desired positions. Proceedings of the IRE， 1944， 32（10）：620.

[22]ZIERHOFER C M， HOCHMAIR E S. Geometric approach for coupling enhancement of magnetically coupled coils. IEEE Transactions on Biomedical Engineering， 1996， 43（7）：708.

[23]KAZIMIERCZUK M K. High Frequency Magnetic Components . Wiley Publishing， 2009.