基于未知信源数的相干信号DOA 估计∗

邹士祥 林 明

（江苏科技大学 镇江 212001）

1 引言

为了避免信源数错误导致DOA 估计方法失效，在未知信源数的条件下进行DOA 估计的方法受到广泛关注。文献［3］结合Capon 算法和MUSIC算法，提出了一种未知信源数的高分辨DOA 估计方法m-Capon，然而对于实际情况，该算法的m 值不易确定，m 值太小则相关矩阵不能收敛到噪声子空间，过大则特征值不相等的噪声分量会被误认为信号分量，而且在低信噪比以及快拍数较少时，性能也会受到很大影响；文献［4］对这个问题进行了讨论，提出了一种修正MUSIC算法，但它只对信噪比和快拍数较大并且非相干信号源有效。而在实际工程中，由于多径传播等因素的影响，存在大量相关信号源，从而使得信号波达角的估计性能下降很多。文献［2］虽然在低信噪比以及快拍数较少时估计仍然具有较好的性能，但无法估计相干信号，且计算量大。

本文提出的在未知信源数情况下一种超分辨DOA 估计，能够较好地解决低信噪比以及低快拍数情况下性能严重下降的情况，并且对相干信号能够进行准确的估计，新的DOA 估计算法通过约束条件实现最大限度的减少阵列输出的方差，保证来波方向的输出功率，利用空间平滑矩阵的中心赫尔米特（Centro-Hermitian）特性构造两个实值矩阵，降低了计算量，同时利用空间平滑技术对相干信号进行解相干处理，最后用求根的方法代替谱峰搜索。

2 算法原理

2.1 信号模型

M 个远场窄带信号入射到空间L 元均匀线阵中，假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经各自传输通道送到处理器，选取阵列的第一个阵元为参考阵元，则窄带信号阵列接收快拍数据矢量X（t）表示为

其中X（t）为阵列接收的L 1 维快拍数据矢量，S（t）为L 1 维的空间信号矢量，A 为空间阵列L×M 流型矩阵，即导向矢量阵。

其协方差矩阵为

其中Rs=E[S(t)S(t)H]为信源协方差矩阵，σ2为噪声功率，I为单位矩阵。

对R进行特征分解有

ES为信号子空间，EN为噪声子空间，ΛS为大特征值组成的对角阵，ΛN为小特征值组成的对角阵。

R的特征值满足如下关系：实际中数据协方差矩阵是通过N 次快拍数据估计得到的，即

快拍数N 取值越大，这个估计值越接近真实值，从而对角度的估计越准确。

MUSIC算法的空间谱函数为

其中θ是方位角，s(θ)为导向矢量。

MVDR算法的空间谱函数为

2.2 基本原理

该算法是在波束形成的框架上提出的，因此不需要估计信源数，对于DOA 估计问题，基于输出功率提出约束式（8b），对在来波方向上增益的平方加上约束，其中权值矢量的范数约束保证了有意义的结果，其约束条件为

其中c，β是大于零的常数。

式（8）可以归结为条件下求极值，对于条件下求极值可以用拉格朗日常数法，构造目标函数。

上式对ω 求导，并令其为零，得

这就意味着最优权值矢量是矩阵束{R，s(θ)s(θ)H+βI}最小特征值对应的特征向量。

由于(s(θ)s(θ)H+βI)是可逆的，这就等同于求解(s(θ)s(θ)H+βI)R-1最小特征向量。c 的值对公式无关紧要，β值将在后面求解。

利用Sherman-Morrison公式：

得

其中常数：

相关矩阵的特征分解可以表示为R=∑iL=1ξieieiH，ξi和ei分别代表特征值和特征向量，在存在噪声空间情况下，R 是一个满秩矩阵，其特征向量形成L 维空间的正交基。因此s(θ)可以用R的特征向量表示

于是，得到

其中ai=eiHs(θ) 。

将式（13）代入式（11a）得

于是特征分解变为

其中x，γ分别为特征向量和特征值。

很明显{ei|∀i}不是式（15）的解，相反，最优权向量是由特征向量的加权和，表示为，为了计算新的特征向量，将代入式（15）得

b=[b1，…，bL]T是矩阵最小特征值对应的特征向量，其元素为

当导向矢量完全属于信号子空间时，在这种情况下，ai=0，∀i∈N0得到

则B~表示为

其是对角矩阵，能够看出是{β-1ξi|∀i∈N0}式（19）的特征值。

如 果{β-1ξi|∀i∈N0}不 是 最 小 特 征 值，同 时bi=0，∀i ∈N0，这就表示期望的权值向量包含在信号子空间中。b矩阵中非零元素组成的特征向量对应于下面矩阵的最小特征值：

因此，由于权值矢量和s(θ)的独立性将阻碍在来波方向上产生波峰，为了解决这个问题，需要对β值做约束。

因为β-1I+∂s(θ)sH(θ)和R 矩阵都是Hermite 矩阵，则以下不等式成立［11］。

为了保证最小特征值属于{β-1ξi|∃i∈N0}这个集合，则需解决式（22）给出的β下限问题：

β 最小为

由于ξL-1≤ξM故把β 设为

其中k 的取值不能太小，接近于1 才能满足条件要求。

由文献［1］中提出的最优化约束条件

由拉格朗日乘法得到

于是得到类似于MUSIC算法形式的空间谱

2.3 实值相干处理

J是交换矩阵，它的反对角线为1，其余为零。两边乘以实酉矩阵，则实值协方差矩阵为

Q 为实值L L 维的列对称矩阵，根据阵元数的奇偶选择实值变换矩：

矢量0={0 ，0，…，0}T，I为k阶单位矩阵，J为k阶反单位矩阵。

利用求根的方式代替谱峰搜索，定义多项式：

式中p(z)=[1，z，…，zL-1]T。

将多项式修改为如下形式：

多项式中存在z*项，使得求零过程变得复杂，故用pT(z-1)代替pH(z)，即

f(z)是2（M-1）次多项式，它的根相对于单位圆是镜像对，只需求式（34）M 个接近于单位圆上的根，即

本文算法步骤如下：

1）根据式（29）利用数据协方差矩阵R 构造空间平滑矩阵，根据式（30）构造实值矩阵，并进行特征分解；

2）由式（25）求得β，进而根据式（11b）求得∂；

4）对步骤3）得到的实值矩阵进行特征分解，求得最小特征值对应的特征向量；

5）根据式（34）中的求根多项式，计算出期望信号的波达方向。

3 仿真结果

实验一：仿真采用均匀线阵，阵元个数M =8，阵元间距为半波长，信源为4 个入射角分别为-60h、-20h、30h和70h的窄带信号，快拍次数为100，信噪比为10 dB，入射信号分别为非相关信源与相关信源。

图1 非相干信号估计

图2 相干信号估计

实验二：仿真采用均匀线阵，阵元个数M =8，阵元间距为半波长，信源为1 个入射角为50h的窄带信号，一组快拍次数为100，均方根误差随SNR的变化情况；另一组信噪比为10db，均方根误差随快拍数的变化情况，仿真进行200 次蒙特卡罗实验，结果取平均。

图3 SNR对估计性能的影响

图4 快拍数对估计性能的影响

实验三：采用均匀线阵，阵元个数M =8，阵元间距为半波长，快拍数为100，信源为2个入射角分别为5h和10h的窄带信号，仿真估计成功概率随快拍数的变化。

图5 估计成功概率随快拍数的变化

由图1和图2可以看到对于非相干信号和相干信号，本文算法都能够较准确地估计出来，所以本算法同样适用于相干信号；在图3 中，两种算法在同样SNR情况下，误差相当；从图4和图5中可以看出，在小快拍数的情况下，本文算法的估计误差和性能都稍优于ROOT-MUSIC算法。

4 结语

本文针对信号源估计误差导致DOA 估计错误的问题，提出一种基于未知信源数的超分辨DOA估计，理论分析和计算机仿真结果表明，该算法能够处理相干信号，在低信噪比以及低快拍数情况下仍具有较好的性能，估计精度与求根MUSIC 算法相当，且计算量适中，具有很好的可行性与实用性。