借助几何画板提升学生直观想象核心素养

王海伴 郭克玺

摘  要 《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出六项核心素养，为高中数学教学制定了课程总目标。在高考二轮复习中突破传统教学，从信息技术的视角，对高中数学抛物线的一个性质进行验证、探究、应用、拓展推广，有效培养学生直观想象核心素养。

关键词 数学核心素养;直观想象;几何画板;主题教学;数学实验;抛物线;课程改革;深度学习

中图分类号：G633.6    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2019）09-0093-03

1 前言

直观想象重点是通过直观感知客观事物的形态与变化，认识事物的位置关系、数量关系、变化规律，通過建立形与数的联系来分析数学问题，寻求问题解决的思路。直观想象是发现问题的基础，也是逻辑推理、数学抽象的思维基础。当下高中数学教学最大的难点在于知识内容抽象难懂，需要学生由原来的感性认识逐渐上升到理性认识，这就要求教师将比较抽象的学术形态内容转化为学生容易直观感知的教育形态内容。几何画板作为最出色的教学软件之一，无疑可以在这一点上起到很大的帮助作用。

几何画板可以为教师提供丰富而便捷的教学设计与实践平台，方便教师开发自己需要的各种素材，能够动态展示对象的位置关系、变化规律，也能快速验证数学猜想，有利于促进学生通过数学实验发现问题与提出问题，有利于提升学生的直观想象素养，也为有效落实其他高中数学学科核心素养培养提供了基础保障。本文从抛物线的一个性质出发，借助几何画板验证、探究、应用、拓展，在提升学生直观想象的核心素养方面做了一些尝试。

2 提出问题

已知直线l经过，与抛物线x2=2py（p>0）交于A，B两点，求证：这两点的横坐标之积为某一定值。

在高三第二轮专题复习中，证明完这一性质，为了加深学生对这一性质的理解，增强学生直观印象，笔者通过几何画板动态演示了这一性质。课后有学生通过几何画板发现当直线不在抛物线的焦点，而在抛物线对称轴的任何位置，直线与抛物线交点的横坐标之积仍为定值，并兴奋地拿着自己的发现来请教。看着学生的这股热情，笔者便专门为这一性质准备了一个主题教学。

3 教学过程简述

著名教育家波利亚说过：“发现问题比解决问题更重要。”新一轮课程改革，在原有“双基”的基础上提出“四基”“四能”，这也就意味着在高中数学教学中，对学生从数学的角度发现和提出问题的能力提出明确要求，这也是当下高中数学教育教学中亟待解决的问题。

问题探究

已知直线l经过N（0，m），与抛物线x2=2py（p>0）交于A，B两点，求证：这两点的横坐标之积为常数。

如图1所示，前面提到的那位学生通过几何画板演示自己的发现，利用几何画板的度量功能，可以清楚地观察到：当直线l围绕定点N旋转时，点A，B横坐标之积xAxB仍为定值。学生很惊讶！当然，发现问题的这位学生很是自豪。

可以看到几何画板功能的合理利用是触发学生发现和提出问题的关键原因之一。适当深度应用信息技术可视化教学，在提升学生直观想象素养的同时，也为下面的逻辑推理奠定了基础。接下来，师生一起类比前面的证明过程，对这一结论进行证明，过程如下。

设直线l为y=kx+m，l交抛物线x2=2py（p>0）于A（x1，

y1），B（x2，y2）两点。由可得x2-2pkx-2pm=0，所以x1x2=-2pm。

师：当抛物线以x轴为对称轴，会有类似的情况吗？

生（异口同声）：有。

师：说说你们的结论。

生1：已知直线l经过N（m，0），与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，应该有这两点纵坐标之积也为某一定值。

数学问题的发现、提出，建立在直观感知、空间想象的基础上，几何画板将原本冰冷、抽象、难理解的死图，转化为火热、形象、易观察的活图，从而激活了学生本有的好奇心，激发了学生学习数学的热情，激活了课堂。学生利用几何画板一方面直观感知图形中点、线的变化情况，另一方面仔细观察A，B两点坐标数值的变化情况，然后操作确认，从而有效提升了直观想象的数学核心素养，也为落实其他数学核心素养的培养提供了保证。

实践应用

师：上述这一性质能否帮助我们解决问题？请看下列实例。

【实例1】已知定点P（x0，y0）在抛物线x2=2py（p>0）上，过定点P作两直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：为某一定值。

师：同学们想怎样研究这一问题？

生2：先采用几何画板来验证这一结论的正确性。

如图2所示，教师与学生一起快速画图，拖动点A，学生直观感受直线PA随着点A的变化而变化，直线PB相应地也在发生变化，但几何画板度量的值为定值-2。学生蠢蠢欲动，很想探个究竟;教师因势利导，引导学生证明。

证明：设直线PA与PB分别交抛物线对称轴于M（0，m）、N（0，n），因为直线PA与PB的倾斜角互补，所以直线PA与PB关于y=y0对称，则m+n=2y0。由上述结论可知，x0x1=

-2pm，x0x2=-2pn，则，，这样，得到。

师：大家还能提出类似问题吗？我们继续来看。

【实例2】已知点P（2，1），过点P作两直线交抛物线x2=

4y于A（x1，y1），B（x2，y2），当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：kAB为某一定值。

与前面一样，师生共同先采用几何画板来验证这一结论的正确性，师生一起快速画图，拖动点A，直线PA随着点A变化，直观感受直线PB相应地也在发生变化，几何画板度量直线AB的斜率kAB恒为定值-1。学生再次被眼前这一现象吸引，对问题的解决表现出极大的兴趣与热情。学生通过直观感受直线位置关系的变化，实验操作确认数量关系的变与不变，有效提升直观想象核心素养，同时为进行逻辑推理、数学运算做好准备。（证明过程略。）

师：实例2能否进一步推广？请大家试一试。

生3：我感觉如果定点P变为该抛物线上任意一定点，可能也应该具有kAB为某一常数。

师：请同学们举例说明。

生4：我尝试表述：已知点P（x0，y0），點P在抛物线x2=2py（p>0）上，过定点P作两直线交抛物线于A（x1，y1），

B（x2，y2）两点，直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，kAB依然为某一常数。

引导学生独立证明上述一般性结论。

此时，教师随手通过几何画板做出抛物线在点P处的切线，利用度量工具计算抛物线在点P处的切线斜率。在抛物线上移动点B，学生直观感知直线PA与PB的变化情况，但是注意到直线AB的斜率kAB与抛物线在点P处的切线斜率永远互为相反数。这样就又一次激发了学生探究问题的热情。

师：怎样求曲线在某一点处的切线方程？

生：利用导数。

教：还有其他方法吗？

生：联立方程，利用Δ来判断。

学生计算获得斜率为。在渴望、欢快、愉悦的氛围中提升了学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

推广拓展

师：今天同学们表现很棒。我们大家都明白，圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为二次曲线，抛物线具有的这个性质，椭圆是否也具有？

生（兴致很高，异口同声）：利用几何画板验证。

已知， A、B是椭圆C：上的任意两点，kPA+kPB=0，求证：kAB为常数。

通过几何画板建立椭圆的参数方程，画出上述椭圆，学生直观感受、实验操作旋转直线PA，可以看到直线PB随着变化。几何画板度量直线PA、直线PB的斜率都在变化，但是直线AB的斜率kAB恒为定值。教师引导学生进行证明。

师：可以看出点的横坐标恰好为椭圆右焦点的横坐标，直线AB的斜率恰好为椭圆的离心率，任意椭圆是否都具有上述性质？

已知点，A，B是椭圆C：上任意两点，kPA+kPB=0，求证：kAB为常数。

几何画板进一步验证了猜想，并用类似的方法可以证明上述结论。学生猜想双曲线也具有同样类似的性质，仍然通过几何画板快速画图、直观感悟、实验操作、推理证明得出有关性质：已知点，A，B是双曲线C：上任意两点，kPA+kPB=0，则kAB为常数。

整节课，学生被形与数的完美结合深深吸引，在轻松愉悦的氛围中观察、感知、实验操作、推理验证、拓展推广，以发展直观想象为出发点，提升了数学抽象的核心素养，在渴望结论的证明中提升了逻辑推理、数学计算的核心素养。通过合理应用几何画板，高中数学学科核心素养培养在欢快、活跃的课堂氛围中落到实处。

4 结语

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力[1]。由此可见，高中数学学科核心素养培养的有效落实必须建立在学生积极主动参与、合作的基础上。而当下的高三数学教学在短平快的节奏下，对学生进行大量的习题训练，效率不高，最关键的原因是学生参与度不高，感受不到学习的快乐、成长的快乐，很难落实核心素养培养。而信息技术的合理利用，让学生在直观、形象的图形变化中感悟数与形的结合、变与定的统一，符合学生的认知规律，注重学生的心理感受，为提升学生直观想象核心素养提供了基本保障。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展[1]。通过信息技术与数学问题的深度融合，切合学生的兴趣点，打通直观形式与抽象形式的联系，教师通过几何画板以增强学生直观想象为目的，意外促使学生直观感知、由特殊到一般，简单推理发现数学问题，看似偶然，实属必然。可以看出，直观想象是数学问题发现的基础，反过来，数学问题的发现过程提升了学生的直观想象素养。以几何画板为辅助手段，探究数学未知问题，应用新得出的结论，拓展推广数学结论，这一过程也正是深度学习方式下落实直观想象素养培养的过程。

直观想象核心素养，作为高中数学学科核心素养之一，能否有效提升，在一定程度上直接影响着数学抽象、逻辑推理、运算能力等核心素养的培养与发展。换句话说，其他核心素养在一定程度上受限于直观想象。好奇是学生的本性，是想象的源泉，提升学生核心素养，需要保持好学生天生的好奇心。信息技术的合理利用，让学生在诧异、好奇中感知数与形的美妙变化，他们自然会在动脑、动口、动手中提升数学核心素养。合理利用信息技术平台，为学生进行深度学习提供了可能，为学生理解数学问题本质奠定了基础，为提升学生数学学科核心素养提供了基本生长点。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：3-4.