习题教学中培养学生思维深刻性的课堂探讨

陈土树

【内容摘要】课本中的习题是新知识的传授、思维能力的培养、数学思想方法的渗透的主要载体。日常教学中，重视习题教学，能够优化学生的认知结构，从而引导学生乐学、会学，达到减负增效的效果，最终培养学生思维的深刻性。

【关键词】习题教学 一题多解 课堂探讨

科学研究表明：思维品质是思维能力的核心，其中广阔性、灵活性、深刻性、独立性、批判性是它的五大要素。然而一切思维品质的基础是思维的深刻性，思维在深刻性的基础上才引申发展出思维的灵活性和独立性。所谓的思维的深刻性就是指将实际生活中的数学关系进行“提炼”，从而抽象概括出有关的数学问题，然后对数学问题进行分析，采用恰当的数学模型，选择准确的数学方法、运用合适的数学运算，最终求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验和对模型的修正等过程，集中体现为思考的广度、深度、难度三个维度。

一、一题多解——开阔思路，提高思考的广度，在实践中培养思维的深刻性

一题多解是促进学生思维能力发展的有效途径之一，可以培养学生的思维准确性，提高学生的思维灵活性，增强学生思维的深刻性。挖掘多解性就是要挖掘题目中所蕴含知识点的“纵横沟通”，挖掘其中所融汇的多种数学思想或方法，这样有利于发展学生的思考广度，从而培养学生思维的深刻性。在教学中，精心设计具有典型性的范例能极具开发的学生思维。

例1：当x=5-1 ，求代数式x2+5x-6的值。（人教版九上P22 复习题6）

我们日常教学中一般采用一种方法——直接代入。

当  x=5-1时，原式=（5-1）2+5（5-1）-6=35-5 。

如果教师在教学时，就题论题，就失去该题的科学价值，也失去一次培养学生思维深刻性的机会，应与学生共同探索。这一类“求值问题”是简单类型，但是往往这一类题目是我们提高思考的广度，培养思维深刻性的好素材，因为它起点低，入手易。我们可以启发学生研究所求代数式有何特征，进而发现可以因式分解为（x+6）（x-1），从而得到第二种解法：原式=（5+5）（5-2）=35-5。然后引导学生从研究条件入手，并结合所求代数式进行变形：x+1=5 ，原式=（x+1）2+3（x+1）-10=（5）2+35-10=35-5。此时教师适时进行小结，求值问题不仅仅只是直接代入，要注意观察和研究所求代数式与条件之间的联系与变形，能起到“事半功倍”的效果。从多个角度去考虑同一问题，从而培养学生发散思维，提高思维能力，采取不同的方法，让学生自我探究，自我发现，合作交流，在学习中提高学习数学的兴趣，在实践中发展他们的思维能力。

本题通过三种不同的解法，有助于强化不同阶段的知识联系，使不同层次的学生的思维触角伸向不同的方向，让学生优化解题的方法，寻找最优解。看似一道简单的求值题，通过我们的一题多解，不但能起到“以小见大”效果，还能改变传统的教学模式，从而优化学生的思维品质，培养学生的思维深刻性。教材中，还有许多如：一元二次方程的求解，二次函数解析式的求解，平行四边形的证明等等课本习题，教师要善于挖掘，开发有价值的素材，在解决和运用中培养学生思维的深刻性。

二、由浅入深——挖掘内涵，发展思考的深度，在运用中学到深刻的思维

根据初中生的认知规律与思维层次出发，我们平时的教学要循序渐进，螺旋式上升的。通过简单易懂的素材为载体，精心谋划，设计创设思维情境，在不断实践与不断获得成功喜悦之间交替进行，促进学生由浅入深，乐于思考，乐于探索与尝试，从而对某一知识就做到理解深刻。

课本中一些习题，看似平常，但却具有丰富的内涵，我们要善于发现这类习题，引导学生拓展延伸，不能仅仅“做一题练一题”，要通过挖掘其潜在内涵，促使知识深入，提高学生的探索能力，发展学生的思考深度，从而在运用中学到深刻的思维。

例2：在八上《全等三角形》的教学中，我采用这么一个素材：如图△ABC和△ECD都是等边三角形，点B、C、D共线。第一个问题目标明确，又切合本章所学知识，起点低，学生入手容易，大家都在参与。接着我引导学生能不能得出：BG=AH，为什么？然后在前面的铺垫下，我就全面放手：除此之外，我们还能得出什么结论？上台板书出来。因此在这次的课堂上，学生积极性被调动起来了，思考不断深入，有一条新的结论，大家都是兴高采烈的，都情不自禁的为之鼓掌祝贺。心里又“不服输”，在别人给出结论后，积极思考验证别人的结论是否正确，是否还能推出别的结论。这样打破课堂原有的几何证明题沉闷的气氛，又大大提高了学生思考的积极性，同时对这个图形有了更深刻的记忆，更为深刻的理解，让更多的知识点融合起来，从而于培养学生思维的延伸性，进而学到深刻的思维。

通过这样深入探究与合作交流最后得到了如下①AC∥DE，AB∥CE;②△EBC≌△DAC;③∠AFB=60°;④△GBC≌△HAC;⑤△HCD≌△GCE;⑥GH∥BD;⑦△GHC是等边三角形;⑧ S△ACE= S△ACD= S△BCE等等。虽然这节课结束了，但是学生对这道题的探究还意犹未尽。有一个学生到九年级上学期学《二次函数》知识时，又拿出这道题跟我说：“老师，如果BD长为定值，那么△ABC和△ECD的面积之和有最小值，当且仅當点C为中点时。”可见这道题的深入探究，让学生留下深刻烙印，学到了深刻的思维。

三、一题多变——举一反三，增加思考的难度，在解决中达到深刻的思维

在初中数学中，有很多问题有着深刻的背景，或者蕴含着规律、方法。教学中要善于采用题目条件的弱化与改编，从而提高学生的观察能力，遵循数学从容易到困难，从一般到特殊的学习规律。既培养学生思考问题由浅入深，又极大的提升学生类推能力和梳理归纳的能力，从而提高学生善于观察、比较分析、归纳与探究的意识与能力。这就是思维深刻性培养的高境界。

我们在教学中，采用一题多变，有意识的对条件进行适当弱化或改编，以引导学生进行辨析对比，归类，从而提高了学生从本质上看问题的意识，激起学生强烈的探索精神和求知欲望，更好地培养学生思维的深刻性，提高解题能力。这也同时避免了“茫茫”题海和繁杂资料的烦恼，有效地推行“减负”政策。

例3：如下图，正方形ABCD中，点M为BC边上的中点，AM⊥MN，正方形外角的平分线CN与MN相交于点N。求证：AM=MN。

分析：本题本质就是三角形全等。如何构造三角形全等呢？大部分同学的想法就是过点N作BC的垂线NH，垂足H，构造出来的三角形NMH与三角形ABM无法证明全等，关键缺少边相等，从而陷入困境。本题在寻求三角形全等时，要牢牢抓住全等的关键——至少有一边相等，而题干中没有边的等量关系，故作辅助线时重点要考量这个要素，即：取AB的中点G，连结MG，通过证明△AGM≌△MCN，本题就迎刃而解了。而这题如果就戛然而止，那么学生就丧失进一步思考的权利，进一步锻炼分析能力的机会，无法使思维深刻化。笔者进行如下四种变式，前两种大背景“正方形”不变，让学生横向迁移;后两种改变“正方形”的大背景，让学生纵向迁移。

变式1：若将原题的条件“点M是BC边上的中点”弱化改为“点M是BC边上的任意一点（M不与B、C两点重合）”，其他条件，如下图所示，此时还有AM=MN的结论吗？

变式2：若将原题的条件“点M是BC边上的中点”进一步改为“点M是BC的延长线上”，其他条件不变，如下图所示，此时还有AM=MN的结论吗？

变式1和变式2通过弱化条件，使得结论更具有一般性。通过原题及改编题的训练，让学生由易到难，渗透了从特殊到一般的数学思想，从而起到培养学生思维的深刻性。

变式3：将原题改为“在正三角形ABC中，点M是BC的延长线上，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN= °时，结论AM=MN还成立？请说明理由”

变式4：将原题改为“正n边形ABCD…X中，点M是BC的延长线上，N是∠ACP的平分线上一点，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立”

变式3和变式4，引导学生认真分析，归纳猜想，大胆尝试，发散思维。通过培养与训练，学生能力强了，意识到位了，能在更高、更深的层次上加深对问题的理解，培养学生的思维深刻性。

培养学生思维的深刻性，是数学教育的本质所在。以上三个方面是通过如何习题教学培养学生的深刻思维，当然它们不应是孤立的，而应是相互渗透，并有机融合。课本中的习题是很重要的载体，我们要有目的地去钻研和挖掘，有意识地进行培养和训练。通过对习题挖掘，配上有效的落实途径，适时引导，从而达到培养学生思维深刻性的目的。

【参考文獻】

[1]刘金星.挖掘习题潜能 培养思维能力[J].福建中学数学，2003（10）：7-10.

[2]王丽.浅谈数学思维的特性[J].数学学习与研究，2016（2）：18.

（作者单位：福建省厦门市第二外国语学校）