Lebesgue积分的概念与性质的教学探讨

2019-11-22 23:58杨元启
科技风 2019年28期

杨元启

摘 要:Lebesgue积分理论是实变函数论的中心内容,是数学专业学生的必修课。本文尝试深入浅出的引导学生理解Lebesgue积分的概念与性质,进而掌握Lebesgue积分的思想和理论。

关键词:Lebesgue测度;Lebesgue積分;绝对连续性;平均连续性

Lebesgue积分理论是建立在Lebesgue测度论基础上的积分理论,是Riemann积分理论的升华,它不仅蕴含了Riemann积分理论的成果,而且克服了Riemann积分理论的许多局限。比如黎曼积分过度依赖函数的连续性,在积分极限运算中,交换极限次序的条件也非常苛刻,Lebesgue积分一定程度上弥补了黎曼积分的不足,较黎曼积分有更为广泛的应用。不过,尽管理论完美,但略嫌晦涩难懂,且计算不方便,这限制了Lebesgue积分理论的普及推广。不过,作为数学专业的学生,这是必修课,如何快速让学生理解掌握Lebesgue积分理论,是教学的一个难点。以下对Lebesgue积分概念和性质的引入与讨论,希望能给同学们提供帮助。

一、 Lebesgue积分的概念

(1)设f是可测集D上的非负简单函数,即存在D的分划∑nSymbolcB@ n 使f(x)=∑Si=1aiχEi(x) x∈D,其中E1,E2,···,En是互不相交的可测集,定义f在D上的 Lebesgue积分为∫Df(x)dx=∑ni=1aim(Ei)。

(2)设f是可测集D上的非负可测函数,即存在D上的非负简单可测列fn,{fn(x)} 单增收敛于f(x),定义∫DSymboleB@ ∫Dfndx。

(3)设f是可测集D上的可测函数,则令f+(x)=max{0,f(x)},f-(x)=max{0,-f(x)},若∫Df+(x)dx和∫SymboleB@ ,则定义∫Dfdx=∫Df+(x)dx-∫Df-dx。

参考文献:

[1]赵慈庚,等译.Rudin W.数学分析原理.高教出版社,1979.

[2]程其襄,等.实变函数与泛函分析基础(第三版).北京:高等教育出版社,2001.