Lebesgue积分的概念与性质的教学探讨

杨元启

摘 要：Lebesgue积分理论是实变函数论的中心内容，是数学专业学生的必修课。本文尝试深入浅出的引导学生理解Lebesgue积分的概念与性质，进而掌握Lebesgue积分的思想和理论。

关键词：Lebesgue测度;Lebesgue積分;绝对连续性;平均连续性

Lebesgue积分理论是建立在Lebesgue测度论基础上的积分理论，是Riemann积分理论的升华，它不仅蕴含了Riemann积分理论的成果，而且克服了Riemann积分理论的许多局限。比如黎曼积分过度依赖函数的连续性，在积分极限运算中，交换极限次序的条件也非常苛刻，Lebesgue积分一定程度上弥补了黎曼积分的不足，较黎曼积分有更为广泛的应用。不过，尽管理论完美，但略嫌晦涩难懂，且计算不方便，这限制了Lebesgue积分理论的普及推广。不过，作为数学专业的学生，这是必修课，如何快速让学生理解掌握Lebesgue积分理论，是教学的一个难点。以下对Lebesgue积分概念和性质的引入与讨论，希望能给同学们提供帮助。

一、 Lebesgue积分的概念

（1）设f是可测集D上的非负简单函数，即存在D的分划∑nSymbolcB@ n 使f（x）=∑Si=1aiχEi（x） x∈D，其中E1，E2，···，En是互不相交的可测集，定义f在D上的 Lebesgue积分为∫Df（x）dx=∑ni=1aim（Ei）。

（2）设f是可测集D上的非负可测函数，即存在D上的非负简单可测列fn，{fn（x）} 单增收敛于f（x），定义∫DSymboleB@ ∫Dfndx。

（3）设f是可测集D上的可测函数，则令f+（x）=max{0，f（x）}，f-（x）=max{0，-f（x）}，若∫Df+（x）dx和∫SymboleB@ ，则定义∫Dfdx=∫Df+（x）dx-∫Df-dx。

参考文献：

[1]赵慈庚，等译.Rudin W.数学分析原理.高教出版社，1979.

[2]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.