大数定律的应用及例解

杨元启

摘 要：大数定律是概率论的重要内容。由于讨论大数定律需要较高的理论技巧，本科教材中对大数定律的讨论和处理都非常简单，藏头露尾。本文拟详细解析大数定律的内涵，做适当推广，并采用合适例子说明大数定律的具体应用。

关键词：契贝雪夫不等式;依概率收敛;契贝雪夫大数定律;辛钦大数定律

概率接近1的事件几乎一定会发生，概率接近0的事件几乎一定不会发生。什么样的事件会是这样的事件呢？什么样的随机随机现象会产生概率接近1或者0的规律呢？大量独立或者弱相关的随机因素累积的结果会出现上述规律。典型的如频率的稳定性，即随着观测次数的增加，频率会概率为极限（概率意义下）。

对随机变量序列Xn，如果存在数列an，使得对任意ε>0，有limn→

SymboleB@ P1n∑ni=1Xi-an>ε=0，则称随机变量序列Xn服从大数定律。

其中數列an可以取作数列{1n∑ni=1EXi}。

以下是常见的几个大数定律。

（契贝雪夫大数定律）设Xn是一列两两不相关的随机变量，方

SymboleB@ D（1n∑ni=1Xi）=0，由契贝雪夫不等式知，Xn服从大数定律。

参考文献：

[1]王寿仁.概率论基础与随机过程[M].北京：科学出版社，1997.

[2]严家安.测度论讲义[M].北京：科学出版社，2000.