对一道高考模考题的解法探究和反思

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目

二、背景

本题作为二模的压轴题真正起到了把关作用.在我所教的两个班(共97名学生)中只有9人得分，得分率仅为0.093.全市得分率就更低(我校一本率在90%左右).因此，本题具有研究的价值，以便让学生把这类与圆内接四边形有关的数量积问题弄通透，让模考直通高考.

三、分析

本题以数量积作为背景，考查学生的综合运用知识的能力.而求数量积必须依靠相关长度和角度，因此解题要向这两个量靠拢.本题要依托三角函数、平面向量、平面几何、解析几何、正余弦定理等知识作为突破口进行分析解答，解题中等价转化尤为关键，抽丝剥茧，直到水落石出.

四、解答

1.以三角函数为突破口

解法1如图1，因为BD为圆的直径，所以∠BAD=∠BCD=90°.

由已知得∠ADB=∠ACB=∠ABC.

解法2 如图2，过点A作AE⊥BC，交BD于O，连结CO.

易得△AOB∽△AOC,所以∠BAO=∠CAO=∠ABO.

2.以平面向量为突破口

3.建立直角坐标系，以点C的坐标为突破口

4.建立直角坐标系，依托正弦定理找到突破口

5.建立直角坐标系，依托余弦定理找到突破口

在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosθ，

以下同解法7.

五、反思