浅谈小学数学的三大数量关系

唐 莉

(重庆市九龙坡区和平小学校 重庆 九龙坡 400000)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中，对数学做了定义：“数学课程要培养学生的抽象思维和推理能力。”作为小学数学教学，如何对学生进行这方面有效的训练呢？我想，从入学开始，很有必要对学生进行三大数量关系的思维训练。这三大数量关系就是“总数和部分数的关系”“大数小数相差数的关系”以及“一倍数，倍数，几倍数”的关系，这三种数量关系，是小学阶段所有数量关系的核心，对许多题型的结构分析，具有很重要的作用。

1.总数和部分数关系

比如：把一个西瓜分成2半边获3大块，这个大西瓜就是“整体”，被分成的2大块就叫做“部分”，所以：整体=部分+部分，把这种经验抽象成数量关系，就是“总数=部分数+部分数”。在数学“加法各部分间的关系”和“减法各部分之间的关系”的教学中，如果学生有“总数和部分数”的思想，很容易就能够把“和”与“被减数”看作“总数”，而把“加数”与“减数”和“差”都看作“部分数”，反之，如果学生的知识结构中缺乏这种上位知识，那么理解起这部分知识，就显得比较吃力。对于这种情况，老师最好能给学生补上这部分缺失的知识。例题：小明有50元钱，用了一些后，还剩下34元，请问小明用了多少钱？这道题常见的数量关系是：一共的钱-剩下的钱=用了的钱，但是，如果让学生明白钱的数量就是“总数”，而用掉的钱和剩下的钱都是“部分数”，依据“部分书=总数-另一部分数”，学生就可以很快理解和解决这类题型。又如：小明原来有20元，后来妈妈又给了他30元，现在小明一共有多少钱?这类问题，几乎所有的学生都很容易知道“加数+加数=和”，老师最好在这类应用题中对学生进行“总数和部分数”数学思想的渗透，让学生明白：第一个加数20元和第2个加数30元，都是小明总钱数的“部分数”，学生就能彻底明白为什么求总数用加法。坚持用这样的形式对学生进行训练，学生就能够更好地理解加法和减法各部分之间关系，从而准确解答这类问题。

2.大数小数相差数关系

在生活中，大的就称为大的数量，小的就称为小的量，两个量之间相差的部分，就叫做相差的量。在数学中，这三种量分别叫做，大数、小数和相差数。根据经验：大数-小数=相差数，小数=大数-相差数，大数=小数+相差数。这种思想在数学中属于最基本的思想方法，是解决许多问题的基础。例题：超市里有矿泉水20件，有苏打水90件，苏打水比矿泉水多多少件？在教学中，要启发学生分析出这三个不同的量，然后再思考所求的量应当怎样求出来？通过多次的引导和练习，学生逐渐熟练的掌握这种思维方式。这种方法的训练，实际对学生分析能力和推理能力的提升具有很大的作用，学生首先要有“大数”、“小数”、“相差数”的概念，并且能依据自己的理解进行准确的判断，然后再依据自己的知识结构进行推理，找出相应的方法来解答这道题。再如：重庆西站每天发出长途汽车150车次，但比发出的高铁少60车次，问重庆西站每天发出高铁多少车次？学生首先要判断出长途汽车150车次是“小数”，而这个“60车次”则是相差数，而这个“高铁的车次数量”就是大数了，再根据“大数=小数+相差数”，就可以求出高铁的车次数量了。在清楚理解了这两种数量关系之后，学生就能够轻易地分析出应用题中相应的结构，从而很容易的解答出来。

3.一倍数、倍数和几倍数的关系

这种思想方法，对于解答诸如“行程问题”，“工程问题”，“购物问题”很有帮助，甚至对分数乘除法应用题的学习，也很有帮助。生活中的倍数问题很常见，如：山上有柏树20棵，松树是柏树的10倍，松树有多少棵？这个例子中，柏树的量就是“一倍数”，那个“10倍”就是“倍数”，松树的棵树就是“几倍数”了，松树棵树=20X10=200(棵)，也即“一倍数X倍数=几倍数”，关键在于判断哪个是“一倍数”，哪个是“倍数”，哪个是“几倍数”？一倍数=几倍数÷倍数，几倍数=一倍数X倍数，倍数=几倍数÷一倍数，掌握了这个数量关系蕴含的数学思想，理解其他类似问题就简单多了。在行程问题、工程问题和购物问题中，总路程、总工程量和总价就是“几倍数”，而速度、工作效率和单价，则属于“一倍数”，而行驶时间、工作时间以及购买物品的数量则就是“倍数”。我们实例理解：行程问题：一辆车每小时行驶98千米，从重庆行驶到贵州需要4个小时，重庆到贵州的距离是多远?工程问题：工程队每天修路98米，一条路工程队修了4天，这条路公多长？购物问题：每个书包售98元，老师要买4个书包，需要准备多少钱？细心的读者会发现：这3道题的算式都是98X4=392，这里的98代表的都是“一倍数”，4都是代表的“倍数”，求得的结果392则是“几倍数”。读到这里，有没有发现其实很多复杂的数量关系都有一个看似很简单的，起基础作用的数量关系，只要找到这个数量关系，很多问题将变得简单。

这个方法也可以帮助学生理解复杂的分数乘除法应用题。例如，“已知一个数，求这个数的几分之几是多少？”的应用题，如果把“单位1”看作“一倍数”，把“分率”看作“倍数”，再把对应的“量”看作“几倍数”，根据“一倍数=几倍数÷倍数”和“一倍数X倍数=几倍数”的数量关系，就可以很好的理解分数乘除法的算理了。这里面的关键点，就在于把“倍”和“分率”统一起来，这就是“倍率”。又如：一只松树身体长2.1分米，它的尾巴长度占身体长度的，这只松鼠尾巴多长？这道题中，如果把“2.1分米”看作“一倍数”，把“”当做“倍数”的话，这个尾巴的长度实际就是“几倍数”了，于是，用旧知识可以解决这个问题了，用“2.1X=1.8分米”。再如：小明的体重是35千克，它的体重是爸爸体重的，小明的爸爸体重是多少千克？这道题中，小明爸爸的体重就是“一倍数”，“”是“倍数”，小明体重“35千克”就是“几倍数”的量了，所以，我们根据“一倍数=几倍数÷倍数”就能够很快列出算式解决这种问题。现在，亲爱的读者，你有没有发现，我们常说的“量率对应”中的“量”实际就是“一倍数”，而这个“率”实际就是“倍数”这一内涵呢？

总之，这三种数量关系，是小学数学数量关系的基础，在教学中具有很重要的作用，因此，希望数学教师从低年级起，在数学教学中有意识的把这三中数量关系渗透在日常教学中，提高学生的分析问题和解决问题的核心素养。