基于Shapley值的编队内各舰艇之间的相对价值分析*

王道重 韩建立 谷民亮 孙 媛 刘 星

（1.海军航空大学 烟台 264001）（2.92336部队 三亚 572000）（3.91206部队 青岛 266108）

1 引言

20世纪70年代，美国海军基于网络中心战（Network Centric Warfare）的思想提出协同交战能力（Cooperative Engagement Capability，CEC）。CEC是利用计算机、通信和网络技术，把海上舰艇编队中各舰艇的目标探测系统、指挥控制系统、武器系统以及预警机系统等连成一个有机的网络，允许舰艇编队在极短的延时内共享各平台上探测系统所获得的所有数据，从而把整个舰艇编队连成一个整体［1～3］。舰艇编队协同防空反导作战情况下，如果目标直指编队内相对重要的水面舰艇，则目标威胁程度就大，反之则小，所以在对来袭目标进行威胁评估［4～5］时，应充分考虑编队内各舰艇之间的相对价值，在威胁评估时加入舰艇重要度这一指标，可以使评估结果更加可靠，更加有利于后续的目标分配［6～7］环节。

2 协同度分析

CEC系统是一个网络化作战系统，其中的任何一个作战平台或探测平台都是网络的一个节点，称之为协同工作单元（Cooperative Unit），各单元之间的相互影响程度称之为协同度［8］。

设编队中某舰艇i的自身协同效能为Wi及其协同度 Xi（单元i与其他n-1个单元的协同度），则该单元的协同效能为

其中Xi可表示为Xi=(X1，X2， ···，Xn)。

设方案集为{Ai} ，i=1，2，···，n ；作战区域集{Bj}，j=1，2，···，m。可生成全程协同效能矩阵：

设舰艇编队Z=(Y ，X ) ，其中Y代表各可选区域的单元集，在单元集里所有单元之间的关系都是相互影响的，用(xij，xji)∈X 表示单元I与单元J的协同度，其中xij表示单元I对单元J产生的贡献值，xji表示单元J对单元I产生的贡献值。如图1，相互影响示意图。

设单元I、J、K为可协同的三艘水面舰艇，其基本协同效能分别为Wi、Wi、Wi，单元I对单元J和单元K所产生的贡献值分别为xij和xik；单元J对单元I和单元K所产生的贡献值分别为xji和xjk；单元K对单元I和单元J所产生的贡献值分别为xki和 xkj。当 xij＞0时，说明单元I对单元J有积极影响；当 xij=0时说明单元I对单元J没有影响；当xij＜0时，说明单元I对单元J有负面影响，xik，xji，xjk，xki，xkj同理。可求得单元 I对这三艘舰艇组成的编队的效能增量为

如果ΔWi＞0，则单元I称之为效能可行。

图1 相互影响示意图

由式（3）可以看出，效能增量与以下三个方面有关：

1）该单元的基本效能（这里用Wi表示）。如果该单元加入编队，与其他单元协同作战，Wi越大，则该单元对整个编队的贡献值就越大；

2）该单元对其他单元的贡献值。贡献值为正，说明该单元对其他单元有积极影响，反之有负面影响；

3）其他单元对该单元的贡献值。贡献值为正，说明其他单元对该单元有积极影响，反之有负面影响。

在整个舰艇编队中，效能增量ΔWi＞0的单元越多，则该编队的总体协同效能就越大。若水面舰艇i的效能增量ΔWi大于其他水面舰艇的效能增量，则说明舰艇i相对于其他舰艇来说，可以为整个舰艇编队带来更多的效益，舰艇i的价值就比其它水面舰艇大。所以可从经济学的角度出发，根据各单元为整个“联盟”所带来的收益，利用Shapley值进行“利益分配”，各单元所应得的收益，就是各单元之间相对价值的表现。

3 Shapley值模型

著名对策论专家Shapley［5］从有效性公理（efficiency axiom）、对称性公理（sysmmetry axiom）、可加性公理（additivity axiom）出发，提出n人合作对策解的概念，即 Shapley值［9～12］。对于 n 人合作对策v，Shapley值主要根据各局中人给联盟带来收益的多少，把联盟最大收益合理的分配给局中人。

视舰艇编队协同作战为n人合作（各个舰艇之间的合作）对策(U ，v )，简记为v，其中，局中人（各舰艇）的集合为 U={1，2，…，n}，特征函数为 v。假设成员（舰艇）i本身具有一定的协同效能v(i)，在一次合作中，联盟共产生v(U )的效能，如果从经济学的角度出发，成员i在最大收益v(U )中应得到一份收入φi(v)，要想该合作能够成功，必须满足。合作U下，各成员所得收益的Shapley值为

其中s表示集合U中一个或多个成员组合的子集，Si表示集合U中包含成员i的所有子集，| s|表示s中的成员个数，v(s)表示s的收益，v(s i)表示s去掉成员i后所能产生的收益，w(| s |) 是加权因子，n表示集合U中的成员个数。

4 数值举例

假设一个编队体系U有3艘水面舰艇A、B、C，记为U={1，2，3}，其自身的协同效能分别为，舰艇A参与的所有协同方式的集合 S1={1，1∪2，1∪3，1∪2∪3}，舰艇A和舰艇B协同所产生的效能为3，舰艇A和舰艇C协同所产生的效能为5，舰艇B和舰艇C协同所产生的效能为6，三艘舰艇协同所产生的效能为10。从经济学的角度出发，根据Shapley值的方法，A所应得的分配φ1(v)的计算如表1所示。

根据表1可以得出，A所应得的收益为φ1(v)=1/3+1/3+1/2+4/3=2.5，同理B和C所应得的收益分别为。不难发现=2.5+4.5+3=10，符合假设。所以，舰艇A的权重为I1=2.5/10=25%，同理，舰艇B和C的权重分别为I2=30%，I3=45%，即舰艇A、B、C之间的相对价值为25:30:45=5:6:9。

表1 A应得分配计算

5 结语

1）舰艇编队协同作战可视为n人合作博弈，各舰艇对整个编队都会产生一定的贡献（效能增量）。某舰艇产生的效能增量ΔWi＞0，则该舰艇效能可行。效能增量ΔWi＞0的舰艇越多，则该舰艇编队的总体作战效能就越大。

2）从经济学的角度出发，利用Shapley值的方法，对整个编队的总体效能进行“利益”分配，“成员”对整个系统的贡献值越大，则其所应得的分配就越多。其实各舰艇按照Shapley值的分配方法，所得的分配就是各舰艇之间相对价值的表现。

3）如果来袭目标直指我方相对重要的水面舰艇，则目标威胁就大，反之则小。所以，对目标进行威胁评估时，需要充分考虑我方各舰艇之间的相对价值，得出的威胁评估结果会更加可信。利用Shapley值的方法计算出我方各舰艇之间的相对价值，可以应用于目标的威胁评估。