对高中数学函数奇偶性的多重分析

2019-11-29 02:41卢沛奇
商品与质量 2019年22期
关键词:偶函数奇函数奇偶性

卢沛奇

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高中数学课程中函数的奇偶性是非常重要的章节,在数学学习中对于函数的奇偶性掌握的要求也越来越高,在高考有关求参数极值,函数单调性,导数的应用等问题中,函数的奇偶性能对问题的解法提供一个不错的思路与优化。因此,更深入地研究函数奇偶性,能让我们更好地掌握函数的特征,从而能更好地理解与应用[1]。

1 函数奇偶性的概念

1.1 函数奇偶性的定义

奇偶函数的定义:一般地,设一个函数y=f(x)的定义域是为B,如果对于任取的x∈B,都有f(-x)=f(x)则函数y=(x)是偶函数;若对于任取的x∈B,都有f(x)=-f(x),则函数y=f(x)是奇函数。

1.2 奇偶性的函数特征

对于奇函数而言,根据定义可知若定义域内存在一点(x0,y0),则很方便得到与其对应的-x0点坐标为(-x0,-y0);同理对于偶函数而言,若定义域内存在一点(x0,y0),则其对应点为

(-x0,y0)。另一方面奇偶性在函数的图像上也有着非常鲜明的特征:偶函数在图像上关于y轴对称,而奇函数图像则关于坐标原点中心对称。

2 函数奇偶性的重要性

高中数学函数中的奇偶性性质是函数的重要性质之一,它在我们学习的代数、三角以及高等数学中都有着非常广泛的应用,近几年的中学各类考试中,经常会出现关于函数奇偶性的一些题型,一般出现在填空、选择、判断、证明、求值等题型中。在函数学习过程中利用奇偶性,一方面可以更为准确的做出函数图像,从而更好的了解函数特征,另一方面,函数的奇偶性还有助于判断函数的单调性,在求取复杂参数的参数取值或者范围等问题中都能起到一定的作用,简化计算过程等[2]。

3 函数奇偶性需要注意的问题

3.1 函数的定义域关于原点对称,是判断函数奇偶性的必要条件

因此在判断函数奇偶性的问题中,应当首先观察函数的定义域,在解决一些复杂函数的问题中,可以帮助我们节省不少的时间。然而,不少高中生经常在判断函数奇偶性的问题中,过分注重于函数表达式,急于利用f(-x)与f(x)的关系来解决问题,常常会出现错误,例如对于y=x²(x<0)很多同学一定会不假思索的说这个函数是偶函数,但实际上,仅仅从定义域上就可以很容易判断出这是一个非奇非偶函数。

3.2 众所周知,偶函数的图像是关于y轴对称的,奇函数的图像关于原点对称的

如果是把这两句话倒过来,得出:关于原点对称的函数图像一定对应一个奇函数,关于y轴对称的函数图像一点对应一个偶函数。则这种说法是错误的,例如,我们以原点为中心的椭圆它的图像既关于原点对称,又关于y轴对称,但是就不是一个函数,更不要谈他的奇偶性了。

3.3 利用函数奇偶性与单调性的关系,对于解决函数问题有很大的帮助

奇函数在关于原点对称的整个区间上,单调性是一致的,而偶函数则是相反的。例题:若给出一个函数f(x)的定义域在R上是偶函数,在区间(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,求使得f(x)<0的x的取值范围。分析:因为函数f(x)是偶函数,且f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,又因为函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,所以函数在[-2,0]内的函数值是小于0的。利用偶函数与函数单调性的性质,函数区间[0,+∞]上是增函数,因此函数在[0,2]内的函数值是大于0的,最后得出使得f(x)<0的x的取值范围为-2<x<2。

3.4 既是奇函数也是偶函数的函数是存在的且有无数个

如果存在一个函数既是奇函数又是偶函数的,则它的函数关系式是要满足f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)的,然后我们可以得出f(x)=-f(x),解得f(x)=0。因此只要函数定义域关于原点对称,则f(x)=0既是奇函数又是偶函数,例如x∈R、x∈[-5,5]等等。

3.5 复合函数的奇偶性

我们假设y=f是g=Q(x)和y=f(g)复合函数,假定其定义域是关于坐标原点对称的区间。则得出:(1)若g=Q(x)是偶函数的,又y=(g)是偶函数的,结果y=f(g)是偶函数;(2)若g=Q(x)是奇函数的,又y=f(g)是奇函数的,结果y=f是奇函数;(3)倘使g=Q(x)是奇函数的,又y=f(g)是偶函数的,则y=f(g)是偶函数,总结起来可以得到复合函数中存在偶函数,则函数为偶函数,否则为奇函数。利用这个性质对帮助学生快速解决有关复合函数奇偶性的问题,可以起到事半功倍的效果[3]。

4 结语

从高中数学的函数知识构架来谈,我们都知道,函数的奇偶性,是函数定义的延展,也是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等很多内容的基础。对于研究函数的奇偶性的过程体现了数学的“从特殊到一般”、“数形结合”的思想方法,这对培养学生的思维能力和教学素养都具有非常重要的意义。通过对高中数学的学习,能够进一步明确函数的奇偶性在数学学习中的重要性。奇偶性的研究和掌握为今后的数学学习奠定了坚实基础。

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