一类特殊数列前n项和的求法探究

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解决非等差数列、等比数列的前n项和问题，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差数列或等比数列。(2)不能转化为等差数列或等比数列，往往通过裂项、并项、错位相减、倒序相加等方法。由一个等差数列与一个等比数列对应相乘得到的数列，我们常用错位相减法来进行求前n项和，但这一重要方法运算过程复杂且运算量大。就这一题型，下面介绍另外三种解法。

一、构造等比数列法

若数列{an}的通项公式为=bn-bn-1(q≠1)，则数列{qnbn+An+B}是一个公比为q的等比数列。

例1求数列的前n项和。

解：此问题可以转化为：已知b1=1，bn-，求bn。由得A=1，B=2。所以数列{3nbn+n+2}是一个首项为6，公比为3的等比数列。所以3nbn+n+2=6×3n-1。所以

二、裂项相消法

若数列{an}的通项公式为(q≠1)，则将an作如下裂项，其中

例2求数列的前n项和。

解：因为所以的前n项和

三、公式法

若数列{an}的通项公式为(q≠1)，则其中

上述公式的推导：由裂项相消法知an=所以Sn其中

例3求数列的前n项和。

解：因为，所以a=所以A=1，A+B=2，所以

上述三种方法蕴含了丰富的数学思想与方法，并且相对于我们常用的错位相减法来说运算量大大地减少了，为我们解决这类数列求和问题提供了更加简便的有效途径。