内禀增长率对率依赖捕食-被捕食系统的影响

王 锋，付爱岚

（1.安阳工学院数理学院，河南安阳455000；2.林州市职业教育中心，河南林州456550）

1 研究的主要对象

在本文中我们将重点研究具有第二类功能反应函数的率依赖捕食-被捕食模型[1],形式如下：

其中，x,y分别代表被捕食者和捕食者的种群密度,，a、b、c、m、f、d是正常数，分别代表被捕食者的内禀增长率、环境容纳量、捕获率、半饱和捕获常数、转换率、捕食者的死亡率。

2 内禀增长率对系统平衡点稳定性[2]及Hopf分岔的影响

2.1 稳定性分析

2）f＞d， 当c≤ma时.

系统有正平衡点E∗(x∗,y∗)，其中.

则原系统在E∗处可线性化为.

令λ=iω0，则其特征方程为(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0 ，

得λ2+(a-p1-p4)λ+p1p4-ap4-p2p3=0.

可知：当a-p1-p4=0，即a0=p1+p4时.

同时可得如下定理：

定理1对于系统（Δ），当a-p1-p4＞0 ，p1p4-ap4-p2p3＞0时，系统在正平衡点E∗(x∗,y∗)处渐近稳定.

下面分析参数a对系统稳定性的影响：

特征方程(λ-p1+a)(λ-p4)-p2p3=0两端λ对a求导可得

在a0=p1+p4处，，得.

故当a=a0时，原系统在平衡点E∗处发生Hopf分岔。

定理2当a穿过临界值a0=p1+p4且在其附近时，原系统（Δ）在平衡点E∗(x∗,y∗)处发生Hopf分岔，在小于临界值时平衡点不稳定，在大于临界值时平衡点稳定。

2.2 Hopf分岔的方向和周期解的稳定性

下面分析Hopf分岔的方向和周期解的稳定性.

设对应于λ=iω0的特征向量为，得

(p1-a)+p2V1=iω0，即，

其中

现系统（Δ）取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74,a0=1.97703，系统在正平衡点(6.25676,8.45508)附近发生Hopf分岔，且ω0=0.176872，进行如下计算：

由描述Hopf分岔性质的公式[3]的结论判断可知：由于u2＜0，率依赖捕食-被捕食系统(Δ)的Hopf分岔是亚临界的，当a＞a0时，平衡点是稳定的焦点；当a穿过a0，即a＜a0时，系统产生一簇周期解，因β2＜0，周期解是稳定的。

3 数值研究

现应用非线性动力学软件Winpp[1],取定b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，让a变化时对系统(Δ)的动力学性质进行模拟，在验证所得结论正确的同时，展示了系统(Δ)在a不同取值时的动力学行为，如图1～图4所示。

图1是当系统(Δ)取参数为b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值为x0=7,y0=9,a=1.971＜a0=1.97703时，系统的时间历程及相图，系统有稳定的周期解。

图2是当系统(Δ)取参数为b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值为x0=7,y0=9,a=1.974＜a0=1.97703时，系统的时间历程及相图，系统有稳定的周期解。

图2 参数2时捕食和被捕食密度变化及稳定情况

图3是当系统(Δ)取参数为b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值为x0=7,y0=9,a=1.978＞a0=1.97703时，系统的时间历程及相图，平衡点E*是稳定焦点。

图3 参数3时捕食和被捕食密度变化及稳定情况

图4是当系统(Δ)取参数为b=0.1,f=0.2,d=0.1,c=2,m=0.74，初值为x0=7,y0=9,a=2＞a0=1.97703时，系统的时间历程及相图，平衡点E*是稳定焦点。

图4 参数4时捕食和被捕食密度变化及稳定情况

4 结论

通过本文的研究可以看出，对于含多个参数的率依赖捕食-被捕食系统模型，我们可以通过系统的参数的变化来预测系统的稳定性情况。当其他参数取定数值时，我们可以找到所讨论内禀增长率参数a的临界值，根据计算出来的u2、β2符号，来判断所取参数a大于或小于临界值时系统的稳定性或分岔性质，以分析捕食者和被捕食者两种群是否有稳定的数量，或在一个范围内有周期的变化。通过研究可知，内禀增长率对率依赖捕食-被捕食系统模型有着重要影响，其取值变化会决定系统种群规模稳定或是波动，对于保护生物种类的多样性有重要的理论意义。