正交表交互作用列矩阵象判别法的应用

陈利艳

（安阳幼儿师范高等专科学校学前教育系，河南安阳456150）

混合水平正交表在20世纪60年代初期开始引起较多的关注，近年来，实验因素具有不同水平数的实际问题也促进了对新的正交表的研究。在因素间有交互作用的正交设计数据分析中，需要用到有交互作用列的正交表[1-3]。因此，对于构造的正交表，知道哪些列是交互作用列显得非常重要。在混合正交表的构造方法中，主要有扩张性替换法和压缩性替换法，其中扩张性替换法较为容易，而压缩性替换法需要原始正交表的结构满足一定的条件[4-6]，也就是说，要用压缩性替换法构造混合正交表时，首先要知道原始表的结构，或者说知道某些列的交互作用列。而且与交互作用列有关的混杂现象也是正交设计的难点[7-9]。但是研究正交表交互作用列的组合结构和性质的工作较少［3，10-11]。在文献[12]中利用交互作用列的线性关系进行替换，即如果一个正交表包括3个2水平列，且其中一列是另外两列在mod2下的和，则这三列可用一个4水平列来替换，这种方法可以推广到任何素数P，但这仅仅适用于正交表中相同水平列之间，对于不同水平列之间是不成立的。本文利用矩阵象的概念确定正交表交互作用列的投影矩阵形式，并将其应用于压缩性替换，从而构造更多的混合正交表。这种方法没有以上限制。

1 基本概念和定理

定义1[11]一个第j列的元素是0,1,…,sj-1的n×k矩阵，称为一个强度为2的正交表，如果满足以下条件：

（1）每一列中每个元素出现的次数相同。

（2）在任两列ai,aj(1≤i,j≤k)中每一数对 (0,0),…,(0,sj-1),(1,0),…,(1,sj-1)(si-1,0),…,(si-1,sj-1)出现的次数相同。

一般地我们假设 2＜s1＜s2＜…＜sr和k≥1,i=1,2,…,r，我们采用 Taguchi和 Wu[10]的记法，记Ln(s1,…,sk)表示一个正交表，如果s1,…,sk中一些相同，用表示，这里n表示实验次数，如果r≥2称为一个混合正交表或非对称正交表。

定义2[13]对正交表Ln(t1×t2×…×tm)来说，若第k列中任二不同水平相应于第i,j两列的水平对不同时，则称第k列为第i,j两列的交互作用列。

定义3[11]以G={0,1}中元素为元素，并且任两列正交的矩阵，称为Hadamard矩阵。

定理1[13]若a,b,c是一个2水平列的正交表的三列，则c是a,b的交互作用列，当且仅当m(c)=nm(a)∘m(b)

定义4[14]设是一个正交表，这里是两个行数为n和p的正交表，并且T是一个置换矩阵，如果存在行数为p的正交表，使得，那么可以在正交表Ln中将的第k行替换成的第k行，由此也得到一个正交表，对这种情况，称正交表可以被所替换，这种替换方法称为正交表广义替换法。

定理2设是正交表，则m(L1⊕L2)=m(L1)⊗m(L2)定理3若a,b,c是正交表Ln(2m)的三列，且a是b,c的交互作用列，则这三列中任两列都是第三列的交互作用列。

2 应用