本征图像分解的稀疏表示彩色图像去噪算法

谢 斌，黄 安，黄 辉

(1.江西理工大学 信息工程学院，江西 赣州 341000;2.深圳大学 信息工程学院，广东 深圳 518060)

1 引 言

随着现代科技的高速发展，数据的存储与传输能力得到显著提高，人们对高质量图像的需求不断提升。图像在采集、传输以及存储过程中通常会不可避免地受到各种噪声的干扰，从而导致图像质量的下降。因此，图像去噪是数字图像处理中最常见的也是极其重要的一个问题。传统的图像去噪算法大多针对灰度图像，而现实生活中彩色图像更为常见。因此，对彩色图像的去噪处理更具现实意义。

针对灰度图像去噪问题，文献[1]提出了一种基于滤波技术的去噪算法，该类算法可分为空间域滤波和变换域滤波。空间域滤波在图像空间中借助模板直接对每个像素值进行操作，而变换域滤波将图像从空间域转换到变换域，间接地处理各像素值后再转换回空间域。上述基于滤波的去噪算法虽然简单易行，但是因噪声与图像信号的频谱有可能发生重叠，而导致此类算法的去噪效果不理想。为了提高图像去噪效果，文献[2]中，Rudin等人提出了一种经典的全变分正则化去噪算法，即ROF算法。该算法将图像去噪问题转化为泛函极值的求解，在去噪的同时能够很好地保持图像的边缘。然而，该算法所属的有界变差函数空间(BV函数空间)具有分段光滑特性，容易导致去噪后的图像出现“阶梯效应”。为此，Lysaker等人提出了二阶微分正则化模型(LLT模型)。由于二阶微分在去噪过程中能够对图像进行渐变平滑，从而能够较好地抑制“阶梯效应”，但是二阶微分非常容易模糊图像的边缘[3]。为了克服上述问题，文献[4]结合ROF模型和LLT模型的优点，提出了一种基于一阶微分和高阶微分的混合模型。虽然该模型在抑制“阶梯效应”的同时能够保持去噪图像的边缘信息，但是其复杂度相对较高。近年来，由于具有过完备性和稀疏性等特征，基于稀疏正则的去噪算法得到了广大学者的关注。Elad等人提出了一种稀疏表示去噪算法，该算法充分利用了稀疏表示的优势，即在去噪的同时能很好地保留图像的边缘部分[5]。但是该算法仅适用于去除轻度污染的含噪图像，在噪声污染较严重的情况下，其图像去噪效果并不十分理想。为了进一步提升去噪效果，文献[6]提出了一种非局部集中的稀疏表示(Nocally Centralized Sparse Representation，NCSR)算法，充分利用了图像的非局部自相似性，在噪声污染较严重时仍能取得较好的去噪效果。

对于彩色图像的去噪问题，多数算法直接将灰度图像去噪算法应用于彩色图像的不同颜色通道中。例如，文献[7]将彩色图像的R、G、B三个分量视为3幅灰度图像，并直接利用灰度图像去噪算法对它们进行处理。虽然灰度图像去噪算法相对成熟，但由于彩色图像的RGB分量之间有很强的相关性，对其分别进行去噪处理再合成的结果图像非常容易出现细节模糊和伪色彩，从而降低去噪后彩色图像的整体质量。为了解决这一问题，文献[8]使用CBC-TV法(Channel By Channel Total Variation)将全变分模型耦合到颜色通道中进行彩色图像去噪。由于该算法在不同颜色通道内使用相同的系数且采用全局耦合的方式，无法具体地描述图像局部结构特征从而容易导致图像细节部分的丢失。为此，文献[9]提出了一种基于稀疏表示的彩色图像去噪方法。该方法利用冗余的过完备字典对图像进行稀疏表示，能够有效地捕捉图像的结构特征，非常适用于平滑区较多的彩色图像去噪。但是，该方法对含有较多细节的彩色图像其去噪效果欠佳。

因此，为了在提高彩色图像去噪效果的同时更多地保留图像的细节部分，文中提出了一种基于本征图像分解的稀疏表示彩色图像去噪新算法。本征图像分解能够将彩色含噪图像分解成反射率部分和光照率部分。其中，反射率部分描述了图像的真实颜色信息，光照率部分描述了图像的明暗和亮度信息[10]。文中对彩色含噪图像进行本征图像分解后发现，其反射率部分为仅含孤立噪点且具有分段平滑特性的彩色图像，而光照率部分为包含主要噪声成分且具有较强稀疏性的灰度图像。因此，针对这两个部分的不同特点，文中对含有少量孤立噪点的含噪反射率部分，采用去除轻度噪声效果较好的稀疏表示彩色图像去噪算法，而对于被噪声污染较严重的光照率部分则采用能够有效保留图像细节的非局部集中稀疏表示灰度图像去噪算法进行处理。另外，文中结合正交匹配追踪算法、K-SVD(K-Singular Value Decomposition)算法和软阈值算法设计了一种新的数值解法，有效地求解了所提算法。实验结果表明，与传统的彩色图像去噪算法比较，新算法的去噪效果在主观视觉和客观定量指标上都得到了明显的提高，图像质量也得到了较好的改善。

2 相关工作介绍

2.1 本征图像分解

假设物体表面的颜色是由光源的位置、亮度、颜色和物体本身的材质、形状以及观察者的位置等属性决定的。Barrow等人[10]提出：一幅图像可以由反射率部分(Reflectance)和光照率部分(Shading)构成。其中，反射率部分体现物体对入射光的反射特性，是一幅反映物体真实颜色且具有分段平滑特性的彩色图像；光照率部分描述环境中的光照信息，是一幅反映物体表面明暗和亮度信息且包含了图像的主要细节部分的灰度图像。

假设物体表面满足Lambertian特性，环境光照为唯一光源，则本征图像分解过程可以表示为

I=sR，

(1)

式(1)中，I是输入的彩色图像，s表示光照率部分(灰度图像)，R为反射率部分(彩色图像)。对于任意像素点i∈I，分别用Ii=(Iir,Iig,Iib)、Ri=(Rir,Rig,Rib)和si表示该像素点的像素值、反射率值和光照率值，则满足Ii=siRi。

(2)

(3)

根据上述理论，文献[11]提出了本征图像分解模型的能量函数，即

(4)

图1所示是本征图像分解示意图。图1(a)为lena彩色图像，图1(b)和(c)分别为图1(a)经过本征图像分解后的反射率部分和光照率部分。图1(d)为lena含噪图(噪声强度为20)，图1(e)和(f)分别为图1(d)经过本征图像分解后的反射率部分和光照率部分。

图1 本征图像分解示意图Fig.1 Intrinsic image decomposition diagram

由图1(a)～(c)可以看出，将彩色图像进行本征图像分解后得到的反射率部分是一幅由分段平滑区域构成且包含丰富颜色信息的彩色图像(简称反射图)，而光照率部分是一幅包含图像主要细节信息的灰度图像(简称光照图)。另外，由图1(d)～(f)可以看出，一幅含噪彩色图像的噪声成分主要存在于光照图中，而反射图中仅含少量的孤立噪声点。鉴于含噪彩色图像的反射图和光照图的不同特点，文中采用不同的策略分别对二者进行去噪处理，以期提高整个彩色含噪图像的去噪效果。

2.2 稀疏表示理论

近年来，稀疏性已成为自然图像最重要的特性之一，稀疏表示在图像处理的诸多方面得到了广泛的应用[5-6,12-13]。基于稀疏表示的图像恢复主要利用超完备字典的冗余性对待恢复图像进行稀疏表示并建立相关恢复模型，再通过计算模型的稀疏解完成对图像信号的重建。

对于一个给定的图像信号x∈Rn，可以用一个过完备字典D=[d1,d1,…,dk]∈RN×K中元素的线性组合表示，即

x=Dα，

(5)

式(5)中，α=[α1,α2,…,αk]T∈RK是图像的稀疏矩阵，K为字典原子的数目且满足K>N(过完备字典中列大于行)，基于过完备字典的图像稀疏问题可表示为

min‖α‖0,s.tx=Dα.

(6)

因为式(6)中的字典D是过完备的，所以该模型有无数解，通常需要增加约束项来得到模型的解。为此，Elad等人[5]将基于稀疏表示的图像恢复模型表示为

(7)

式(7)中，‖α‖0为正则项，表示稀疏系数α中所含非零元素的个数，当α满足‖α‖0<δ/2时(存在最小值δ使得字典D中原子线性相关)，x的稀疏表示α∈RK就是唯一的。λ>0为正则项参数，用于平衡信号x的稀疏性和稀疏表示误差。相对于模型(6)，模型(7)中加入的正则约束项，其实质是在原不适定问题(6)的基础上增加了先验知识，如此可以使得模型(7)存在确定解。

由于可以灵活、简洁和自适应地表示信号，稀疏表示理论已经成功地应用于图像恢复的各个领域，在灰度图像和彩色图像去噪方面人们也做了大量工作[5-6,14]并取得了一定成效。因此，文中将稀疏表示的相关理论引入到基于本征图像分解的彩色图像去噪算法中，以期取得更好的效果。

3 新算法的导出

为了得到更好的去噪效果，文中结合本征图像分解和稀疏表示理论，提出了一种彩色图像去噪新算法。图2所示为新算法的流程示意图。

图2 新算法图像去噪流程示意图Fig.2 New algorithm image repair flow diagram

(1) 利用本征图像分解将彩色含噪图像I分解为含噪反射图R和含噪光照图s；

3.1 基于稀疏表示的彩色图像去噪模型

基于稀疏表示的彩色图像去噪算法通过一个给定的初始过完备字典对含噪彩色图像信号进行稀疏表示，然后使用相应的数值算法更新字典并用更新后的字典去更新稀疏表示系数。再利用这些更新后的字典和稀疏表示系数重建原始图像信号，以此得到去噪后的彩色图像。

假设大小为n×M(n

(8)

式(8)中αij为R在字典矩阵D上的稀疏表示系数，矩阵L(M)是经过M项逼近后的残差项，则基于稀疏表示的彩色图像去噪模型可以表示为：

(9)

3.2 基于非局部集中稀疏表示灰度图像去噪模型

当原始图像受到严重的噪声污染时，仅使用传统的局部稀疏约束不足以准确地重构图像信号[6]。为了提高基于稀疏表示灰度图像去噪算法的性能，文献[6]引入了稀疏编码噪声的概念，使模型的求解目标从获取原始图像转换成如何抑制图像的稀疏编码噪声，并且利用图像的非局部自相似性获得原始图像稀疏编码系数的良好估计，使得含噪图像的稀疏编码系数集中逼近至原始图像稀疏编码系数的估计值，从而得到基于非局部集中的稀疏表示灰度图像去噪模型，即

(10)

βi=∑q∈Ωiωi,qαi,q，

(11)

式(11)中，Ωi为任意图像块的非局部相似块的集合，αi,p为Ωi内图像块si,p的稀疏编码，权重ωi,p设置为图像块si与si,p之间的距离成反比

(12)

4 新模型的数值求解

4.1 改进的K-SVD数值算法

对于优化问题(9)，通常采用K-SVD算法进行求解。考虑到含噪反射图s为一幅仅含孤立噪声点的彩色图像，如果直接使用传统的K-SVD算法进行求解，容易在去噪过程中产生不必要的伪影和伪色彩[9]，因此文中采用改进的K-SVD数值算法进行求解。整个算法主要包括两个步骤，即基于正交匹配追踪(OMP, Orthogonal matching pursuit)算法的稀疏编码和基于K-SVD的字典学习。

(13)

(14)

其中

(15)

式(15)中，Jn是一个n×n的全1矩阵。式(14)表示含噪反射图Y与原始反射图R的欧几里得内积，可由Y和R的各通道强度估计值的乘积获得，从而迫使选定的原子考虑图像块的平均颜色信息，其中，调整参数γ可控制校正范围。如此，可以较好地抑制去噪过程中产生的伪影和伪色彩[9]。另外，式(14)中的I+γ/nK可表示为

I+γ/nK=(I+a/nK)T(I+a/nK)，

(16)

其中，γ=2a+a2(a为常数)。令每个图像块和字典中的每个原子均乘上I+a/nK，从而可以直接将新内积应用于OMP算法中，无须再做进一步的更改。因此，文中将反射图估计值R和字典D分别设置为R=(I+a/nK)R和D=(I+a/nK)D。最后，式(13)可以由经典的OMP算法直接进行求解。

(17)

式(17)可以采用经典的SVD算法进行求解。

(18)

4.2 软阈值迭代算法

对于优化问题(10)，由于含噪光照图s包含了图像的主要噪声成分，模型(10)中的正则项参数将在一定程度上影响去噪效果。文中设置了自适应参数λ并将原模型转化为求解L1范数最小化问题，因而可以采用经典的软阈值迭代算法处理。

根据最大后验(MAP)概率估计与稀疏表示之间的联系，可采用将局部稀疏性扩展到非局部集中稀疏性的方式获得自适应的参数λ，即

(19)

式(19)中，σi,j是稀疏编码噪声vi(j)=αi(j)-βi(j)的标准差，vi(j)是vi的第j个元素，利用每次迭代或多次迭代中更新的vi来更新λi,j既能节约计算成本又能得到自适应的正则项参数。另外，在每次迭代中，对于固定的βi，可将式(10)中的目标函数转化为如下L1范数最小化问题：

(20)

由于模型(20)是一个凸优化问题，因此文中采用经典的软阈值迭代数值算法对其进行求解，具体过程如图3所示。

图3 软阈值迭代算法流程示意图Fig.3 Soft threshold iterative algorithm flow diagram

(2) 外部迭代过程：当迭代次数p≤P时，首先使用k-均值法和经典的PCA法更新字典，然后进行内部迭代。如果不满足p≤P，则表明已完成迭代可直接结束整个算法；

(3) 当内部迭代次数j≤J，通过软阈值算子计算αi(j)以及根据公式(19)和公式(11)更新参数λi,j和{βi}；

5 数值实验与分析

为了验证所提算法的有效性，文中使用图4(a)所示的4幅彩色含噪图像作为测试图像，它们的大小均为256×256。并且，将新算法与文献[2]中的ROF算法、文献[5]中的K-SVD算法以及文献[6]中的NCSR算法进行了比较，所有实验均在MATLAB R2016b上编程实现，硬件参数：Intel Core i5-7300HQ，CPU 2.5 GHz，内存8 GB。

5.1 视觉效果性能分析和比较

本节从去噪图像的整体视觉效果和局部细节放大两个方面分别对不同算法的性能进行了对比分析。图4给出了受标准差σ=20的高斯白噪声污染的彩色含噪图像及不同算法的去噪效果图。图4(a)是彩色含噪图像，图4(b)～(e)分别是彩色含噪图像经过ROF算法、K-SVD算法、NCSR算法和新算法处理后的结果图像。从图4(b)～(d)可以看出，采用ROF算法去噪后的彩色图像会出现过度平滑现象，以至于丢失了图像的细节部分；而K-SVD算法在图像低信噪比的情况下去噪效果不理想；虽然NCSR算法能较好地保持图像的细节部分，但是也将某些噪声当成细节成分保留了下来，从而降低了算法的去噪性能。由图4(e)可知，文中所提模型不但取得了较好的去噪效果，而且图像的细节部分也得到了较好的保护。

为了进一步说明所提算法的去噪效果，文中给出了图5第二行所示局部图像的亮度三维图。图6(a)～(b)分别是无噪图像和含噪图像的局部三维图，6(c)～(f)是分别是经ROF算法、K-SVD算法、NCSR算法和文中所提算法去噪后的局部图像的亮度三维图。由图6(c)～(f)可知，(c)中的平坦区域出现了明显的过度平滑现象，(d)中依然存在少量的噪声成分，(e)中的顶部和底部都表现出参差不齐，并且误将一些噪声保留了下来。显然，图6(f)与图6(a)较为接近，说明文中所提算法能够在提高去噪效果的同时较好地保留图像的更多细节部分。

(a) 含噪图像(a) Noisy image

图4 含噪图像及不同算法去噪效果图Fig.4 Image with noise and the results of differentalgorithms

图5 不同算法局部细节放大图Fig.5 Local detail magnification of different algorithms

图6 不同算法局部三维效果图Fig.6 Local 3D graphs of different algorithms

5.2 客观性能评价分析与比较

文中采用峰值信噪比(PSNR)和图像结构相似度(SSIM)来更好地说明不同算法的去噪效果。

(21)

(22)

表1 不同算法的PSNR比较

Tab.1 comparison of PSNR of different algorithms (dB)

测试图片噪声方差K-SVDTVNCSR文中算法Tiffanyσ=1525.9326.2826.8927.34σ=2023.5124.2724.7525.99σ=3020.1621.6423.2525.94Lenaσ=1524.7925.3625.4726.01σ=2022.5523.0323.5424.62σ=3019.4520.1420.5721.12Byasaσ=1525.1625.7825.9226.44σ=2022.8623.9624.5624.77σ=3019.6821.1621.2821.98Boatσ=1525.1525.3026.0726.48σ=2022.4823.2723.5124.18σ=3019.8120.6120.5721.14

表2 不同算法的SSIM比较Tab.2 Comparison of SSIM of different algorithms

6 结 论

文中提出了一种基于本征图像分解的稀疏表示彩色图像去噪算法，将彩色含噪图像使用本征图像分解算法分解为仅含孤立噪点且具有分段平滑特性的反射率部分和包含图像主要噪声成分和细节部分的光照率部分，并使用基于稀疏表示的彩色图像去噪算法和基于非局部集中稀疏表示的灰度图像去噪算法分别对这两个部分进行处理。新算法充分利用了图像的稀疏表示先验与非局部先验，相比于传统算法能更好地保留彩色图像的细节部分和颜色信息。此外，实验数据表明，使用文中算法得到的去噪后图像的PSNR值和SSIM值比使用ROF算法、NCSR算法以及K-SVD去噪算法都有不同程度的提高。尽管如此，由于稀疏表示算法计算复杂度较高，运行时间长，如何在提高彩色图像去噪效果的同时降低算法的复杂度以及缩短运行时间将是今后的一个重要研究方向。