问题导引文化点缀

金明 吴洪生

摘要：本文以苏教版必修4第一章第3节“三角函数周期性”一课为例，阐述了如何创设问题情境，不断用问题引领学生主动探索知识的未知领域，引导学生从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义的教学过程，并对情境创设的过程作了总结性思考。

关键词：问题引导;三角函数周期性

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-031-3

在数学教学中，教师适当地引入情境能给本节课增添很多色彩，通过“问题引入，串讲联系，文化点缀”的方式，可以促进数学教与学方式的转变，有利于培养学生模型思想和理性思维。

一、教材依据与教材分析

三角函数周期性是苏教版必修4第一章第3节的内容，本节课是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时，教师应充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题。

教学中，教师可以引导学生通过对三角函数诱导公式的具体分析，帮助学生认识周期及周期函数，对于一般的周期函数，则不必作过多的讨论。

二、设计背景

在数学文化中，包含了许多数学与非数学学科的实际例子，成为联系数学与其它非数学科联系的纽带，也架设了数学与非数学领域的桥梁。在教材中，这种例子比比皆是，如数学与宗教、数学与政治、数学与诗歌等这些内容的渗透，拉近了数学与学生的距离，使数学更加平易近人，体现了数学的生活化特点。

三、设计思路

三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时，教师应充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题。

周期函数的定义是教学中的一个难点。在教学中，教师可以从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型，一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。

四、教学目标

知识与能力：

1.了解周期函数的概念。

2.会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期。

过程与方法：

1.通过组织学生从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力。

2.通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用。

情感态度与价值观：

1.通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型，增强学生的数学应用意识。

2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

3.通过学习，使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。

4.让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想;让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

五、教学重点

1.周期函数的定义。

2.求一些简单的三角函数的周期。

六、教学难点

周期函数概念的理解。

七、教学准备

多媒体课件、投影仪、教学案

八、教学过程

1.创设情境，引入新课

即兴朗诵诗一首：

赋得古原草送别

离离原上草，一岁一枯荣;

野火烧不尽，春风吹又生。

多媒体播放歌曲一首（节选）：春去春会来/花谢花会再开/黑夜又白昼

[设计意图：让同学们通过古诗和歌曲感受一下直观下的周期性。简单了解周期函数就是描述现实世界“周而复始”与“因果关系”的一种数学模型。]

师：同学们还能说出类似的例子吗？

生：今天是星期一，7天之后还是星期一。

师：14天之后呢？

生：還是星期一。

师：还有吗？

生：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转……

师：这些现象有什么共同特点呢？

生：都给我们重复、循环的感觉

[设计意图：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲，体现数学抽象的核心素养。]

2.学生活动

提出问题：请同学们根据已有知识说明正弦函数有类似现象。

sin（x+2π）=sinx

每当α增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同。

正弦函数的这种性质称为周期性。

[设计意图：通过三角函数线这一模型，将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，引导学生归纳出周期函数的定义。]

3.尝试定义，巩固深化

（1）对于函数f（x），如果存在一个，

使得定义域内的，都满足，

那么函数f（x）就叫做周期函数，叫做这个函数的周期。

设计问题：

1.若f（x+3）=f（x），则f（x）周期是多少？

2.若f（x）周期为-2，请你写出一个等式。

3.判断下列说法是否正确，并简述理由：

（1）x=7π6时，sin（x+2π3）=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期;

（2）x=π3时，sin（x+2π3）≠sin，则2π3一定不是y=sinx的周期。

[设计意图：通过几个不同层次问题的研讨，巩固概念。由特殊到一般，引入反例加深印象。体现逻辑推理的核心素养。]

在此教师需在追问：

追问1：函数f（x）=sinx（x≤0）是否为周期函数？

追问2：y=sinx的周期唯一吗？为什么？

师：T是f（x）的周期，那么kT也一定是f（x）的周期（k为非零整数）？

生：是的。

师：可以证明吗？

生討论后给出证明。

思考：1.y=sinx的周期当中存在最小值吗？

2.y=sinx的周期当中存在最大值吗？

3.在y=sinx所有正数周期中有最小值吗？

[设计意图：由追问的问题，由浅入深，深化概念，并引出最小正周期的概念。这一块内容必须要紧凑、细实。]

（2）最小正周期的定义

对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。

说明：今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期。

提出问题：y=3是否是周期函数？

追问：1.周期为多少？

2.有最小正周期吗？

生在此一一作答，如回答不上来可以分组讨论。

[设计意图：让学生认知不是所有的周期函数都有最小值。]

提出问题：1.y=cosx是否是周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。

2.y=tanx是否是周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。

[设计意图：通过类比研究，让学生认知所学的三个三角函数都是周期函数，并且都有最小正周期。]

追问：y=sin2x是否是周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。

提问部分学生，可能答不出来，此时需要小组合作探究。

[设计意图：师生共同探讨，体现师生合作，生生合作，让课堂充满活力，让同学们知道团结的力量，体验成功的喜悦。]

学生活动：自编一道三角函数题，请同座位思考是否为周期函数？若是周期函数，周期是多少？若不是周期函数，请说明理由。

教师展示活动成果，并一一点评。

师：你们能得出什么结论？

生：1.一般的，函数y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0）的周期2πω

师：发现源于观察，创造源于探索。

没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现——艾萨克·牛顿

猜想：2.若函数y=f（x）的周期为T，则函数y=Af（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0）的周期T|ω|

[设计意图：再次体会由一般到特殊，类比的思想方法。]

合作探究：求下列函数的周期：

1.y=|sinx|

2.y=cos|x|

思考：y=|Asin（ωx+φ）|的周期？

学生集体讨论给出答案并加以证明。

[设计意图：在本题的解答过程中，我们用到了处理问题的常用一种手段，整体换元，将比较复杂、陌生的问题转化成我们熟悉的问题加以解决，同时通过题组的形式，也便于学生归纳出一般的结论。问题设计由特殊到一般，由浅入深，层层递进，展现学生的思维能力，激发学生学习兴趣，调动学生积极性。]

4.知识迁移，学以致用

例 若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示。

（1）求该函数的周期;

（2）求t=10s时钟摆的高度。

师组织学生围绕以下问题展开讨论：

问题1：周期函数具有什么特征？

问题2：能否根据周期性找到t=10s时钟摆的高度？

（师生共同讨论，完成解答）

[设计意图：例1的设置可以直观的反映出周期函数图象的特点，进一步的帮助同学理解周期函数的定义，并为正弦函数图象的学习打下良好的基础。]

5.回顾反思

本节课由实例引入，通过师生的合作探究，帮助学生更好的理解周期函数及周期的概念，并要求学生能够结合概念会求一些简单的三角函数的周期。

反思：课堂的各个教学环节不是一成不变的，应根据课堂上学生的实际情况，灵活组织，提高课堂驾驭能力;充分调动学生的学习主动性，使不同层次的学生都有收获。

6.课堂检测

略

7.课后作业

请同学们根据三角函数周期性，写一首诗，交给老师。

[设计思路：如果不在某种程度上成为一个诗人，就永远不会成为一个完美的数学研究者。——维尔斯特拉斯]

教师提供一首诗：

三角函数

东升西落照苍穹，

影短影长角不同。

昼夜循环潮起伏，

冬春更替草枯荣。

[设计意图：把文化深入课堂，首尾呼应]

8.板书设计（略）

九、感悟与思考

问题情境的创设必须是学生熟悉的情境，这样才可以调动学生的积极性，让学生参与进来，体现学生的主体地位，让学生主动探索知识的未知领域，从而转变了学生的学习方式。教师应该不断地用问题引领学生来激活学生，有了问题，学生的思维才有方向，才有互相交流的机会。基于以上认识，本课着力于问题的设置，层层推进，达到期待的效果。但是问题引领和情境创设必须遵循层次性原则，围绕教学主题，层层递进，才能让学生持续性地不断提高。否则就会适得其反，神散形也散。

教育最终的指向是全面发展的人。数学具有高度的抽象性，严密的逻辑性，但这不应该是数学课堂粗糙无味的理由，其实，数学是一种语言，是一种思维，也是一种工具，更是一种文化，这种文化也正好架设了数学与非数学学科之间的桥梁。学习数学时对文化的渗透，更能引领学生对数学的向往。当你教到直线与圆的位置关系时，脱口而出的是“大漠孤烟直，长河落日圆”;当你进行点、线、面、体教学时，可以吟诵一下“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”这样做，数学课堂上散发出的“文化味”必将引人入胜，别有韵味，意味深长。当然，用文化点缀课堂的也要遵循“主题”原则，也要围绕主题展开，不能喧宾夺主，所选的诗句、话题等要与学生的生活贴近、融洽。否则就会分散学生的注意力，词不达意，文不对题，反而使效果适得其反。

形式服从主题，内容围绕核心素养，无论是问题导引还是文化点缀，都必须服从于学情，服务于学生，以学生的发展为本。

（作者单位：江苏省清浦中学，江苏 淮安223001）